湖南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
9．设曲线 $L: x^{2}+y^{2}=16$ ，取逆时针方向，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}+x y+y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察分母是否为零，判断奇点
分母为 $x^2+xy+y^2$，在圆 $x^2+y^2=16$ 上，由于 $x^2+xy+y^2 = \frac{1}{2}[(x^2+y^2)+(x+y)^2] \geq 0$，且等于0仅当 $x=y=0$，但原点不在圆上，故分母恒正，无奇点，可直接应用格林公式。
公式：x^2+xy+y^2 = \frac{1}{2}[(x^2+y^2)+(x+y)^2]
提示：注意检查分母在积分曲线上是否为零，若为零则需挖洞处理。
步骤 2/6
目标：写出格林公式并确定P和Q
格林公式：$\oint_L P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy$，其中 $D$ 为 $L$ 所围区域。这里 $P = \frac{y}{x^2+xy+y^2}$，$Q = \frac{-x}{x^2+xy+y^2}$。
公式：\oint_L P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy
提示：注意 $Q$ 的分子是 $-x$，不要漏掉负号。
步骤 3/6
目标：计算偏导数 ∂Q/∂x
令 $f(x,y)=x^2+xy+y^2$，则 $Q = -x f^{-1}$。使用商法则：
$\frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{f - x(2x+y)}{f^2} = -\frac{x^2+xy+y^2 - (2x^2+xy)}{f^2} = -\frac{-x^2+y^2}{f^2} = \frac{x^2-y^2}{f^2}$。
公式：\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+xy+y^2)^2}
提示：求导时注意符号，分子化简要仔细。
步骤 4/6
目标：计算偏导数 ∂P/∂y
令 $f(x,y)=x^2+xy+y^2$，则 $P = y f^{-1}$。使用商法则：
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{f - y(x+2y)}{f^2} = \frac{x^2+xy+y^2 - (xy+2y^2)}{f^2} = \frac{x^2-y^2}{f^2}$。
公式：\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+xy+y^2)^2}
提示：注意对 $y$ 求导时，$f$ 对 $y$ 的偏导是 $x+2y$。
步骤 5/6
目标：计算格林公式中的被积函数差值
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+xy+y^2)^2} - \frac{x^2-y^2}{(x^2+xy+y^2)^2} = 0$。
公式：\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0
提示：两个偏导数相等，差为零，这是关键。
步骤 6/6
目标：应用格林公式得出积分值
由格林公式，$\oint_L \frac{y\,dx - x\,dy}{x^2+xy+y^2} = \iint_D 0\,dx\,dy = 0$。
公式：\oint_L \frac{y\,dx - x\,dy}{x^2+xy+y^2} = 0
提示：由于被积函数在区域内无奇点，格林公式直接适用，结果为零。
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