湖南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{4}}{1-x^{2}}$ ，则 $f^{(2026)}(0)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将函数展开为幂级数
已知当 $|x|<1$ 时，有几何级数公式 $\frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}$。因此，$f(x) = \frac{x^4}{1-x^2} = x^4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+4}$。
公式：\frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}
提示：注意几何级数的收敛条件为 $|x|<1$，但求导数值时只用到形式幂级数，无需考虑收敛域。
步骤 2/5
目标：写出泰勒展开的一般形式
函数在 $x=0$ 处的泰勒展开为 $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$。比较幂级数展开 $\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n+4}$，可知只有指数 $k = 2n+4$ 的项存在，且系数为 $1$。
公式：f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k
提示：注意 $k$ 必须为偶数且 $k \ge 4$ 时系数才可能非零。
步骤 3/5
目标：判断2026是否在展开式中
令 $2n+4 = 2026$，解得 $2n = 2022$，即 $n = 1011$。因此 $x^{2026}$ 项确实存在，且系数为 $1$。
公式：2n+4 = 2026 \Rightarrow n = 1011
提示：2026是偶数且大于等于4，所以一定在展开中。
步骤 4/5
目标：由系数求2026阶导数
在泰勒展开中，$x^{2026}$ 项的系数为 $\frac{f^{(2026)}(0)}{2026!} = 1$，因此 $f^{(2026)}(0) = 2026!$。
公式：\frac{f^{(2026)}(0)}{2026!} = 1 \Rightarrow f^{(2026)}(0) = 2026!
提示：注意不要漏掉阶乘因子。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，$f^{(2026)}(0) = 2026!$。
公式：f^{(2026)}(0) = 2026!
提示：结果是一个很大的数，用阶乘表示即可。
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