湖南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6．设 $f(x)$ 二次可微，且 $\sup _{x \in[0,1]} f^{\prime \prime}(x) \leq 2$ ，若 $f(0)=f(1)=2$ ，且曲线 $y=f(x)-x^{2}$ 与直线 $y=2-x$交于点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(0<x_{0}<1\right)$ ，则对任意的 $x \in(0,1), f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件并整理
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二次可微，且二阶导数的上确界不超过 $2$，即 $\sup_{x \in [0,1]} f''(x) \le 2$。边界条件为 $f(0)=2$，$f(1)=2$。另外，曲线 $y=f(x)-x^2$ 与直线 $y=2-x$ 在点 $(x_0, y_0)$ 相交，其中 $0
公式：$\sup_{x \in [0,1]} f''(x) \le 2$，$f(0)=f(1)=2$
提示：注意条件中二阶导数的上界是全局性的，且交点坐标满足两个方程。
步骤 2/6
目标：转化交点条件为函数值关系
由交点 $(x_0, y_0)$ 同时在两条曲线上，得 $f(x_0)-x_0^2 = 2-x_0$，整理得 $f(x_0) = x_0^2 - x_0 + 2$。
公式：$f(x_0) = x_0^2 - x_0 + 2$
提示：不要忘记移项时符号变化。
步骤 3/6
目标：构造辅助函数并分析其零点
令 $g(x) = f(x) - (x^2 - x + 2)$。计算端点值：$g(0)=f(0)-(0-0+2)=0$，$g(1)=f(1)-(1-1+2)=0$。由交点条件得 $g(x_0)=f(x_0)-(x_0^2-x_0+2)=0$。因此 $g(x)$ 在 $0, x_0, 1$ 三个点处均为零。
公式：$g(x)=f(x)-(x^2-x+2)$，$g(0)=g(x_0)=g(1)=0$
提示：构造辅助函数是处理二阶导数上界问题的常用技巧。
步骤 4/6
目标：利用二阶导数条件判断辅助函数的凹凸性
计算 $g''(x)=f''(x)-2$。由题设 $\sup f''(x) \le 2$ 知，对任意 $x \in [0,1]$ 有 $f''(x) \le 2$，故 $g''(x)=f''(x)-2 \le 0$。因此 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上是凹函数（或线性函数）。
公式：$g''(x)=f''(x)-2 \le 0$
提示：二阶导数非正对应凹函数，注意凹函数的几何性质。
步骤 5/6
目标：由凹函数的零点性质推导恒为零
凹函数在区间上如果有三个不同的零点，则必恒为零。因为若 $g(x)$ 是严格凹的，则其图像位于任意两点连线的上方，不可能有三个零点；若为线性，则最多两个零点（除非恒为零）。已知 $g(0)=g(x_0)=g(1)=0$ 且 $0
公式：凹函数三个不同零点 $\Rightarrow$ 恒为零
提示：严格凹函数最多两个零点，这是关键推理。
步骤 6/6
目标：得出最终表达式
由 $g(x) \equiv 0$ 得 $f(x) = x^2 - x + 2$，对任意 $x \in (0,1)$ 成立。
公式：$f(x)=x^2-x+2$
提示：最终结果与 $x_0$ 无关，体现了条件的约束力。
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