湖南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
8．级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别级数形式
观察级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!}$，其通项为 $\frac{(-1)^n}{(2n)!}$，分母是双阶乘形式，且符号交替出现，提示可能与三角函数的泰勒展开有关。
公式：$a_n = \frac{(-1)^n}{(2n)!}$
提示：注意 $n$ 从0开始，$0! = 1$，第一项为 $\frac{(-1)^0}{0!}=1$。
步骤 2/4
目标：回忆余弦函数的麦克劳林展开
余弦函数 $\cos x$ 的麦克劳林展开式为：$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$，该级数对所有实数 $x$ 绝对收敛。
公式：$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$
提示：注意展开式中 $x$ 的指数为 $2n$，与分母的阶乘匹配。
步骤 3/4
目标：将题目级数与展开式对比
题目中的级数没有 $x^{2n}$ 项，相当于令 $x=1$ 代入余弦展开式：$\cos 1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \cdot 1^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}$。
公式：$\cos 1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}$
提示：$1^{2n}=1$，因此直接得到级数和为 $\cos 1$。
步骤 4/4
目标：确认收敛性与结果
由于余弦级数在整个实数轴上收敛，代入 $x=1$ 后级数收敛到 $\cos 1$。$\cos 1$ 是一个精确值，无需进一步化简。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} = \cos 1$
提示：$\cos 1$ 中的1是弧度制，不是角度制。
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