湖南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确数列形式
设第 $n$ 项部分和为 $S_n = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{1}{n}$，即 $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}$。
公式：S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}
提示：注意交错项符号规律：第 $k$ 项为 $(-1)^{k-1}/k$，首项为正。
步骤 2/5
目标：回忆已知级数展开
考虑函数 $\ln(1+x)$ 的麦克劳林展开：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$，该展开在 $-1 < x \le 1$ 时成立。
公式：\ln(1+x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k, \quad -1 < x \le 1
提示：注意收敛区间端点 $x=1$ 处级数收敛，但 $x=-1$ 处发散。
步骤 3/5
目标：代入 x=1 得到级数和
在展开式中令 $x=1$，得到 $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k}$。因此部分和 $S_n$ 的极限为 $\ln 2$。
公式：\ln 2 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k}
提示：代入 $x=1$ 时需确认级数收敛，此处由莱布尼茨判别法保证。
步骤 4/5
目标：验证收敛性
交错级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k}$ 满足莱布尼茨判别法条件：通项 $\frac{1}{k}$ 单调递减趋于 $0$，故级数收敛，极限存在。
公式：\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} = 0, \quad \frac{1}{k+1} < \frac{1}{k}
提示：莱布尼茨判别法仅适用于交错级数，且需验证单调递减和趋于零两个条件。
步骤 5/5
目标：得出极限值
由以上分析，原极限等于该交错调和级数的和，即 $\ln 2$。
公式：\lim_{n \to \infty} S_n = \ln 2
提示：最终结果是一个无理数，常用对数形式表示，不要写成小数近似。
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