湖南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且有相同的单调性，证明：
$$
(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x \geq \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析条件和目标
已知函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且有相同的单调性。不妨设它们都是单调递增的（若单调递减，可通过取负函数转化为递增情形）。需要证明：
$$(b-a) \int_a^b f(x)g(x)\,dx \ge \int_a^b f(x)\,dx \int_a^b g(x)\,dx$$
提示：注意单调性相同是核心条件，若一增一减则不等式方向相反。
步骤 2/5
目标：构造差值并转化为二重积分
考虑差值：
$$\Delta = (b-a) \int_a^b f(x)g(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx \int_a^b g(x)\,dx$$
将两个积分分别写成二重积分形式：
$$(b-a)\int_a^b f(x)g(x)\,dx = \int_a^b \int_a^b f(x)g(x)\,dx\,dy$$
$$\int_a^b f(x)\,dx \int_a^b g(x)\,dx = \int_a^b \int_a^b f(x)g(y)\,dx\,dy$$
于是：
$$\Delta = \int_a^b \int_a^b \big[ f(x)g(x) - f(x)g(y) \big] \,dx\,dy$$
公式：\Delta = \int_a^b \int_a^b \big[ f(x)g(x) - f(x)g(y) \big] \,dx\,dy
提示：注意将乘积积分转化为二重积分时，变量要区分清楚。
步骤 3/5
目标：对称化处理
交换 $x$ 与 $y$ 的角色，得到另一个表达式：
$$\Delta = \int_a^b \int_a^b \big[ f(y)g(y) - f(y)g(x) \big] \,dx\,dy$$
将两个表达式相加并除以2，得到对称形式：
$$\Delta = \frac12 \int_a^b \int_a^b \big[ f(x)g(x) - f(x)g(y) + f(y)g(y) - f(y)g(x) \big] \,dx\,dy$$
整理括号内：
$$= \frac12 \int_a^b \int_a^b \big[ (f(x)-f(y))(g(x)-g(y)) \big] \,dx\,dy$$
公式：\Delta = \frac12 \int_a^b \int_a^b \big[ (f(x)-f(y))(g(x)-g(y)) \big] \,dx\,dy
提示：对称化是处理此类积分不等式的常用技巧，注意不要遗漏因子1/2。
步骤 4/5
目标：利用单调性判断符号
由于 $f$ 和 $g$ 都是单调递增的，对于任意 $x, y \in [a, b]$：
- 若 $x > y$，则 $f(x)-f(y) \ge 0$，$g(x)-g(y) \ge 0$，乘积非负；
- 若 $x < y$，则 $f(x)-f(y) \le 0$，$g(x)-g(y) \le 0$，乘积同样非负；
- 若 $x = y$，乘积为0。
因此被积函数 $(f(x)-f(y))(g(x)-g(y)) \ge 0$ 对所有 $x, y$ 成立。于是二重积分非负，即 $\Delta \ge 0$。
公式：(f(x)-f(y))(g(x)-g(y)) \ge 0, \quad \forall x,y \in [a,b]
提示：单调性相同保证了差值的乘积非负，这是不等式成立的关键。
步骤 5/5
目标：得出结论并讨论等号条件
由 $\Delta \ge 0$ 即得原不等式成立：
$$(b-a) \int_a^b f(x)g(x)\,dx \ge \int_a^b f(x)\,dx \int_a^b g(x)\,dx$$
等号成立当且仅当 $(f(x)-f(y))(g(x)-g(y)) = 0$ 几乎处处成立，即 $f$ 或 $g$ 为常数函数（此时差值为零）。
提示：等号条件容易被忽略，注意常数函数是平凡情形。
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