湖南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，$f^{\prime}(0)$ 存在，且
$$
f(x)=x^{3}+x^{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}-x \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x .
$$
则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设常数简化方程
令 $A = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$，$B = \int_0^1 f(x) \, dx$，则原方程化为 $f(x) = x^3 + A x^2 - B x$。
公式：f(x)=x^3+Ax^2-Bx
提示：注意极限和积分都是常数，不要混淆变量。
步骤 2/6
目标：利用极限条件求A与B的关系
由 $A = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$，代入 $f(x)$ 得 $\frac{f(x)}{x} = x^2 + A x - B$，取极限得 $A = -B$。
公式：A = -B
提示：计算极限时注意 $x \to 0$ 时 $x^2$ 和 $Ax$ 项趋于0。
步骤 3/6
目标：代入A化简f(x)
将 $A = -B$ 代入 $f(x)$ 得 $f(x) = x^3 - B x^2 - B x$。
公式：f(x)=x^3 - B x^2 - B x
提示：注意符号变化。
步骤 4/6
目标：利用积分条件建立方程
计算 $B = \int_0^1 (x^3 - B x^2 - B x) \, dx = \frac{1}{4} - \frac{B}{3} - \frac{B}{2}$。
公式：B = \frac{1}{4} - \frac{B}{3} - \frac{B}{2}
提示：逐项积分，注意常数B可提出积分号。
步骤 5/6
目标：解方程求B
合并同类项：$B + \frac{5}{6}B = \frac{1}{4}$，即 $\frac{11}{6}B = \frac{1}{4}$，解得 $B = \frac{3}{22}$。
公式：B = \frac{3}{22}
提示：移项时注意系数相加：$1 + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$。
步骤 6/6
目标：求A并写出最终表达式
由 $A = -B$ 得 $A = -\frac{3}{22}$，代入 $f(x)$ 得 $f(x) = x^3 - \frac{3}{22}x^2 - \frac{3}{22}x$。
公式：f(x)=x^3-\frac{3}{22}x^2-\frac{3}{22}x
提示：最终结果可写成多项式形式，无需进一步化简。
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