湘潭大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．（15 分）计算重积分 $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V=\left\{(x, y, z) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1\right.\right\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：通过线性变换将椭球区域化为单位球区域
令 $x = a u$, $y = b v$, $z = c w$，则雅可比行列式为 $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = abc$。积分区域 $V$ 变为 $u^2+v^2+w^2 \le 1$，即单位球体 $B$。被积函数变为 $\sqrt{1 - u^2 - v^2 - w^2}$。原积分化为：
$$ I = \iiint_{B} \sqrt{1 - u^2 - v^2 - w^2} \cdot abc \; \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w = abc \iiint_{B} \sqrt{1 - \rho^2} \; \mathrm{d}V $$
公式：$\iiint_V f(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = abc \iiint_B f(au,bv,cw) \mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$
提示：注意雅可比行列式是常数 $abc$，不要遗漏。变换后区域是单位球，便于使用球坐标。
步骤 2/5
目标：在单位球上使用球坐标变换
在球坐标下，令 $u = \rho \sin\theta \cos\phi$, $v = \rho \sin\theta \sin\phi$, $w = \rho \cos\theta$，体积元为 $\mathrm{d}V = \rho^2 \sin\theta \, \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$。积分区域：$\rho \in [0,1]$, $\theta \in [0,\pi]$, $\phi \in [0,2\pi]$。被积函数 $\sqrt{1-\rho^2}$ 与角度无关，因此积分化为：
$$ I = abc \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\phi \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} \sqrt{1-\rho^2} \; \rho^2 \, \mathrm{d}\rho $$
公式：$\iiint_B f(\rho) \mathrm{d}V = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi \int_0^\pi \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \int_0^1 f(\rho) \rho^2 \, \mathrm{d}\rho$
提示：球坐标中 $\rho^2 \sin\theta$ 是体积元的标准形式，注意 $\theta$ 的范围是 $0$ 到 $\pi$。
步骤 3/5
目标：计算角度部分的积分
先计算角度部分的积分：
$$ \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\phi = 2\pi, \quad \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = [-\cos\theta]_{0}^{\pi} = 2 $$
因此角度部分的总贡献为 $2\pi \times 2 = 4\pi$。此时积分简化为：
$$ I = abc \cdot 4\pi \cdot \int_{0}^{1} \rho^2 \sqrt{1-\rho^2} \, \mathrm{d}\rho $$
公式：$\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi \int_0^\pi \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = 4\pi$
提示：角度积分结果 $4\pi$ 是单位球的表面积，可记忆以简化计算。
步骤 4/5
目标：计算径向积分 $\int_0^1 \rho^2 \sqrt{1-\rho^2} \, \mathrm{d}\rho$
令 $\rho = \sin t$，则 $\mathrm{d}\rho = \cos t \, \mathrm{d}t$，当 $\rho=0$ 时 $t=0$，$\rho=1$ 时 $t=\pi/2$。代入得：
$$ \rho^2 \sqrt{1-\rho^2} \, \mathrm{d}\rho = \sin^2 t \cdot \cos t \cdot \cos t \, \mathrm{d}t = \sin^2 t \cos^2 t \, \mathrm{d}t $$
利用恒等式 $\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4} \sin^2 2t = \frac{1}{8}(1 - \cos 4t)$，则：
$$ J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{8}(1 - \cos 4t) \, \mathrm{d}t = \frac{1}{8} \left[ t - \frac{\sin 4t}{4} \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{16} $$
公式：$\int_0^1 \rho^2 \sqrt{1-\rho^2} \, \mathrm{d}\rho = \frac{\pi}{16}$
提示：三角换元 $\rho = \sin t$ 是处理 $\sqrt{1-\rho^2}$ 的常用技巧，注意积分限变化。也可用 Beta 函数直接得到结果。
步骤 5/5
目标：合并所有因子得到最终结果
将径向积分结果 $J = \frac{\pi}{16}$ 与角度部分 $4\pi$ 及系数 $abc$ 相乘：
$$ I = abc \cdot 4\pi \cdot \frac{\pi}{16} = abc \cdot \frac{4\pi^2}{16} = abc \cdot \frac{\pi^2}{4} $$
因此原重积分的值为 $\frac{\pi^2}{4} abc$。
公式：$\iiint_V \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \frac{\pi^2}{4} abc$
提示：最终结果简洁，注意系数 $\pi^2/4$ 是常数，与椭球半轴 $a,b,c$ 的乘积成正比。
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