湘潭大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．（20 分）讨论广义积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} x^{p-1} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的一致收敛性：
（1）（ 10 分）$\displaystyle p \geq p_{0}>0$ ．
（2）（ 10 分）$\displaystyle p>0$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确被积函数与奇点位置
考虑含参广义积分 $I(p) = \int_0^1 x^{p-1} \ln^2 x \, dx$，其中参数 $p>0$。被积函数 $f(x,p)=x^{p-1}\ln^2 x$ 在 $x=1$ 处连续，在 $x=0$ 处为奇点（因为 $\ln^2 x \to +\infty$，且 $x^{p-1}$ 在 $p<1$ 时无界）。因此，积分的唯一奇点在 $x=0$，需要讨论该广义积分关于参数 $p$ 的一致收敛性。
公式：I(p)=\int_0^1 x^{p-1} \ln^2 x \, dx
提示：注意 $p>0$ 是保证积分收敛的必要条件，因为 $p\le 0$ 时 $x^{p-1}$ 的幂次过低导致积分发散。
步骤 2/5
目标：计算积分值以验证逐点收敛性
对固定的 $p>0$，作变量代换 $x = e^{-t}$，则 $dx = -e^{-t}dt$，$\ln x = -t$，$x^{p-1} = e^{-(p-1)t}$。积分限：$x=0$ 对应 $t=+\infty$，$x=1$ 对应 $t=0$。代入得：
$$
I(p) = \int_\infty^0 e^{-(p-1)t} t^2 (-e^{-t}) dt = \int_0^\infty t^2 e^{-pt} dt.
$$
利用Gamma函数 $\int_0^\infty t^{\alpha-1} e^{-\beta t} dt = \frac{\Gamma(\alpha)}{\beta^\alpha}$，取 $\alpha=3, \beta=p$，得 $I(p) = \frac{2}{p^3}$。因此对每个 $p>0$，积分收敛。
公式：\int_0^\infty t^2 e^{-pt} dt = \frac{2}{p^3}
提示：换元后注意积分限的变换方向，以及 $\ln^2 x = t^2$ 的正确性。
步骤 3/5
目标：情况（1）：利用Weierstrass M判别法证明一致收敛
当 $p \ge p_0 > 0$ 时，参数有正下界。对任意 $0 < x < 1$，函数 $x^{p-1}$ 关于 $p$ 单调递减（因为底数 $x<1$，指数越大值越小），因此有 $|f(x,p)| = x^{p-1} \ln^2 x \le x^{p_0-1} \ln^2 x$。记 $M(x) = x^{p_0-1} \ln^2 x$，则 $\int_0^1 M(x) dx = \frac{2}{p_0^3} < \infty$。由Weierstrass M判别法，$\int_0^1 f(x,p) dx$ 在区间 $[p_0, +\infty)$ 上一致收敛。
公式：|f(x,p)| \le x^{p_0-1} \ln^2 x, \quad \int_0^1 x^{p_0-1} \ln^2 x \, dx = \frac{2}{p_0^3}
提示：关键点：$x^{p-1}$ 在 $0
步骤 4/5
目标：情况（2）：构造反例证明不一致收敛
考虑参数序列 $p_n = 1/n \to 0^+$ 和区间端点序列 $a_n = e^{-n} \to 0^+$。计算部分积分：
$$
\int_0^{a_n} x^{p_n-1} \ln^2 x \, dx = \int_0^{e^{-n}} x^{1/n -1} \ln^2 x \, dx.
$$
作换元 $x=e^{-t}$，则 $t$ 从 $+\infty$ 到 $n$，$dx = -e^{-t}dt$，$\ln^2 x = t^2$，$x^{1/n-1} = e^{-(1/n-1)t}$，代入得：
$$
\int_n^\infty e^{-(1/n-1)t} t^2 e^{-t} dt = \int_n^\infty t^2 e^{-t/n} dt.
$$
当 $t \ge n$ 时，$e^{-t/n} \ge e^{-1}$，因此积分值 $\ge e^{-1} \int_n^\infty t^2 dt = +\infty$（发散）。这说明对任意固定的 $\delta>0$，总存在充分小的 $p$ 使得 $\int_0^\delta f(x,p)dx$ 可以任意大，不满足一致收敛定义。
公式：\int_0^{e^{-n}} x^{1/n-1} \ln^2 x \, dx = \int_n^\infty t^2 e^{-t/n} dt \ge e^{-1} \int_n^\infty t^2 dt = +\infty
提示：注意 $p_n \to 0^+$ 时，$e^{-t/n}$ 的衰减变慢，导致积分发散。这是否定一致收敛的典型方法：选取趋于奇点的子列。
步骤 5/5
目标：总结一致收敛性结论
（1）对于任意固定的 $p_0>0$，积分 $I(p)=\int_0^1 x^{p-1} \ln^2 x \, dx$ 在区间 $[p_0, +\infty)$ 上一致收敛。
（2）在整个区间 $(0, +\infty)$ 上，积分不一致收敛。
提示：区分“逐点收敛”与“一致收敛”：虽然每个 $p>0$ 积分收敛，但收敛速度在 $p\to 0^+$ 时无法一致控制。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。