湘潭大学 2026年数学分析第6题

假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上无界。则对任意正整数 $n$，存在 $x_n \in [a,b]$，使得 $|f(x_n)| > n$。由此得到数列 $\{x_n\} \subset [a,b]$。

由于 $\{x_n\}$ 是有界数列（全部位于闭区间 $[a,b]$ 内），根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理（致密性定理），存在子列 $\{x_{n_k}\}$ 收敛于某点 $x_0 \in [a,b]$。

由 $f$ 在 $x_0$ 处连续，得 $\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)$。但由构造 $|f(x_{n_k})| > n_k \to +\infty$，这与极限存在且有限矛盾。故假设不成立，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

由（1）知 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，故可定义 $M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)$，$m = \inf_{x \in [a,b]} f(x)$。需证存在 $x_1, x_2 \in [a,b]$ 使得 $f(x_1)=M$，$f(x_2)=m$。

由上确界定义，对任意正整数 $n$，存在 $x_n \in [a,b]$ 使得 $M - \frac{1}{n} < f(x_n) \le M$。得到数列 $\{x_n\} \subset [a,b]$。

由致密性定理，$\{x_n\}$ 有子列 $\{x_{n_k}\}$ 收敛于 $x_0 \in [a,b]$。由 $f$ 的连续性，$f(x_0) = \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k})$。又由夹逼定理，$M - \frac{1}{n_k} < f(x_{n_k}) \le M$，故 $\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = M$。因此 $f(x_0)=M$，最大值在 $x_0$ 处取到。

对下确界 $m$，对任意正整数 $n$，存在 $y_n \in [a,b]$ 使得 $m \le f(y_n) < m + \frac{1}{n}$。同理，由致密性定理和连续性可得存在 $y_0 \in [a,b]$ 使得 $f(y_0)=m$。

因此，闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 既有界，又能取到最大值和最小值。