湘潭大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．（20 分）设 $\displaystyle S_{n}(x)=n^{\alpha} x e^{-n x}$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 是参数，求 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围，使得函数列 $\displaystyle \left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上：
（1）（ 6 分）一致收敛。
（2）（6 分）积分运算与极限运算可以交换，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} S_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）（8 分）求导运算与极限运算可以交换，即对一切 $\displaystyle x \in[0,1]$ ，成立 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x} S_{n}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求逐点极限函数
对于固定的 $x > 0$，由于指数函数 $e^{-nx}$ 衰减速度远快于幂函数 $n^\alpha$ 的增长，有 $\lim_{n\to\infty} n^\alpha x e^{-nx} = 0$。当 $x=0$ 时，$S_n(0)=0$。因此逐点极限函数为 $S(x)=0, \forall x\in[0,1]$。
公式：$\lim_{n\to\infty} S_n(x) = 0$
提示：注意 $x=0$ 处直接代入即可，无需极限过程。
步骤 2/6
目标：求函数列在区间上的最大值（上确界）
对固定的 $n$，令 $f_n(x)=n^\alpha x e^{-nx}$，求导得 $f_n'(x)=n^\alpha e^{-nx}(1-nx)$。令导数为零得驻点 $x=1/n$，且该点为最大值点。最大值为 $f_n(1/n)=n^\alpha \cdot \frac{1}{n} e^{-1}=n^{\alpha-1}e^{-1}$。因此 $\sup_{x\in[0,1]}|S_n(x)| = n^{\alpha-1}e^{-1}$。
公式：$\sup_{x\in[0,1]}|S_n(x)| = n^{\alpha-1}e^{-1}$
提示：求最大值时注意定义域 $[0,1]$，$x=1/n$ 在 $n\ge 1$ 时始终在区间内。
步骤 3/6
目标：由一致收敛的充要条件确定参数范围
函数列一致收敛于0当且仅当 $\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[0,1]}|S_n(x)| = 0$，即 $\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-1}=0$。这等价于指数 $\alpha-1<0$，即 $\alpha<1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-1}=0 \Leftrightarrow \alpha<1$
提示：当 $\alpha=1$ 时，上确界为常数 $e^{-1}\neq0$，不一致收敛。
步骤 4/6
目标：计算积分与极限交换的条件
右边 $\int_0^1 \lim_{n\to\infty} S_n(x) dx = 0$。左边 $\int_0^1 n^\alpha x e^{-nx} dx$，令 $t=nx$，则 $dx=dt/n$，积分变为 $n^{\alpha-2} \int_0^n t e^{-t} dt$。由于 $\int_0^n t e^{-t} dt \to \int_0^\infty t e^{-t} dt = 1$，左边极限为 $\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-2}$。要使其等于0，需 $\alpha-2<0$，即 $\alpha<2$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \int_0^1 S_n(x) dx = \lim_{n\to\infty} n^{\alpha-2}$
提示：当 $\alpha=2$ 时极限为1，$\alpha>2$ 时极限为无穷，均不等于0。
步骤 5/6
目标：计算导函数并求其逐点极限
对 $S_n(x)$ 求导得 $S_n'(x)=n^\alpha \frac{d}{dx}(x e^{-nx}) = n^\alpha (e^{-nx} - n x e^{-nx}) = n^\alpha e^{-nx}(1-nx)$。对于 $x>0$，指数衰减保证 $\lim_{n\to\infty} S_n'(x)=0$。对于 $x=0$，$S_n'(0)=n^\alpha$，其极限为0当且仅当 $\alpha<0$。而右边 $\frac{d}{dx}\lim_{n\to\infty} S_n(x)=0$。
公式：$S_n'(0)=n^\alpha$
提示：注意 $x=0$ 处是临界点，必须单独讨论。
步骤 6/6
目标：综合得出求导与极限交换的条件
要使对一切 $x\in[0,1]$ 成立 $\lim_{n\to\infty} S_n'(x) = \frac{d}{dx}\lim_{n\to\infty} S_n(x)$，只需逐点极限相等。由第5步，$x>0$ 时自动成立，$x=0$ 时需 $\lim_{n\to\infty} n^\alpha = 0$，即 $\alpha<0$。因此条件为 $\alpha<0$。
公式：$\alpha<0$
提示：此处不要求导函数列一致收敛，只需逐点极限存在且等于0。
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