湘潭大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．（10 分）求 $\displaystyle \cos x$ 的全部零点的倒数平方之和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：找出cos x的所有零点
我们知道 $\cos x = 0$ 当且仅当 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$，其中 $k \in \mathbb{Z}$。这些零点对称分布在正负半轴上，例如 $\ldots, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots$。
公式：$x_k = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}$
提示：注意零点包括所有整数k，不要遗漏负半轴上的零点。
步骤 2/5
目标：明确要计算的量
题目要求全部零点的倒数平方之和，即对所有整数k求和：$\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left( \frac{\pi}{2} + k\pi \right)^2}$。由于零点对称，但求和是对所有k进行，不能只考虑正半轴。
公式：$S = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left( \frac{\pi}{2} + k\pi \right)^2}$
提示：注意k=0对应x=π/2，k=-1对应x=-π/2，它们是两个不同的零点，都要计入。
步骤 3/5
目标：化简级数形式
将分母中的π²提取出来：$\frac{1}{\left( \frac{\pi}{2} + k\pi \right)^2} = \frac{1}{\pi^2 \left( k + \frac12 \right)^2}$。因此总和为 $S = \frac{1}{\pi^2} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(k + \frac12)^2}$。
公式：$S = \frac{1}{\pi^2} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(k + \frac12)^2}$
提示：化简时注意分母的平方运算，不要遗漏π²。
步骤 4/5
目标：利用已知求和公式
利用经典公式：$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(n + a)^2} = \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi a)}$。令 $a = \frac12$，则 $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$，所以 $\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(k + \frac12)^2} = \frac{\pi^2}{1^2} = \pi^2$。
公式：$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(n + a)^2} = \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi a)}$
提示：该公式可由余切函数的级数展开或傅里叶级数推导，注意a不能是整数，否则分母为零。
步骤 5/5
目标：代入得到最终结果
将求和结果代入：$S = \frac{1}{\pi^2} \cdot \pi^2 = 1$。因此，$\cos x$ 所有零点的倒数平方之和为1。
公式：$S = 1$
提示：最终结果是一个简洁的整数，注意检查计算过程是否有遗漏。
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