电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} \sin x-x(1+x)}{\ln ^{3}(1+x)}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：展开分子中的指数函数和正弦函数
将 $e^x$ 和 $\sin x$ 分别展开为麦克劳林级数：
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$
公式：e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)
提示：注意展开到足够高阶，分母最低阶为 $x^3$，因此分子需展开到 $x^3$ 项。
步骤 2/5
目标：计算 $e^x \sin x$ 的乘积展开
逐项相乘：
- 常数项：$1 \cdot 0 = 0$
- $x$ 项：$1 \cdot x = x$
- $x^2$ 项：$x \cdot x = x^2$
- $x^3$ 项：$1 \cdot (-\frac{x^3}{6}) + \frac{x^2}{2} \cdot x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{2} = \frac{x^3}{3}$
因此：
$$e^x \sin x = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$$
公式：e^x \sin x = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)
提示：注意 $x^3$ 项来自两个不同乘积的贡献，不要遗漏。
步骤 3/5
目标：化简分子
分子为 $e^x \sin x - x(1+x) = (x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)) - (x + x^2)$，
抵消 $x$ 和 $x^2$ 项后得到：
$$\frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$$
公式：e^x \sin x - x(1+x) = \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)
提示：注意 $x(1+x) = x + x^2$，与展开式中的低阶项正好抵消。
步骤 4/5
目标：展开分母 $\ln^3(1+x)$
先展开 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$，
然后立方：最低阶项为 $(x)^3 = x^3$，更高阶项不影响极限，故：
$$\ln^3(1+x) = x^3 + O(x^4)$$
公式：\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4), \quad \ln^3(1+x) = x^3 + O(x^4)
提示：分母只需取最低阶 $x^3$，因为分子也是 $x^3$ 阶。
步骤 5/5
目标：求极限
将分子和分母的展开代入极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}x^3 + O(x^4)}{x^3 + O(x^4)} = \frac{1}{3}$$
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}x^3}{x^3} = \frac{1}{3}
提示：高阶无穷小 $O(x^4)$ 除以 $x^3$ 趋于0，不影响极限值。
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