📝 电子科技大学 2022年数学分析真题
第0题
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} \sin x-x(1+x)}{\ln ^{3}(1+x)}=$ $\_\_\_\_$。
第0题
2．已知 $f \in \mathbb{C}(0,1)$ ，则 $f$ 在 $(0,1)$ 上一致连续的充要条件为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
3．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n} x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
4．空间曲面 $x y+e^{z}-z=3$ 在点 $(2,1,0)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$ ．
第0题
5．已知 $\left\{\begin{array}{l}x=e^{-t} ; \\ y=\int_{0}^{t} \ln \left(1+\tau^{2}\right) \mathrm{d} \tau \text { ．}\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$。
第0题
6．$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{\cdots}}}}=$ $\_\_\_\_$ （用具体实数表示）．
第0题
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．
第0题
2．计算二重积分
$$
I=\iint_{\substack{1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 \\ y \leq x}} \sin \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
$$
I=\iint_{\substack{1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 \\ y \leq x}} \sin \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
第0题
3．已知 $x+y+z=1$ 与空间坐标轴相交得到的三角形为 $L$ ，方向为沿 $x$ 轴正方向看去为逆时针方向．计算第一型曲线积分：
$$
I=\oint_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z+\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y
$$
$$
I=\oint_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z+\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y
$$
第0题
4．已知 $\Sigma: x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1$ 为椭球面，方向为椭球面外侧，计算第二型曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$
$$
I=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$
第0题
5．讨论 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x^{y}(\pi-x)^{2-y}} \mathrm{~d} x$ 的连续范围．
第0题
1．已知 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-x)$ 的极限存在，证明：
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x}=1$ ；
（2）对 $\forall \lambda \in(0,1)$ ，存在 $\xi_{\lambda} \in \mathbb{R}$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_{\lambda}\right)=\lambda$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x}=1$ ；
（2）对 $\forall \lambda \in(0,1)$ ，存在 $\xi_{\lambda} \in \mathbb{R}$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_{\lambda}\right)=\lambda$ ．
第0题
2．已知 $f$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $f(0)=0,0 \leq f^{\prime}(x) \leq 1$ ，对 $\forall x \in[0,1]$ ，证明：
$$
\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x \leq\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}
$$
$$
\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x \leq\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}
$$
第0题
3．已知 $f \in \mathbb{C}[0,1]$ ，且 $f(1)=0$ ，证明：函数列 $\left\{x^{n} f(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．
第0题
4．证明：实二次型 $f(x, y, z)=A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 D y z+2 E z x+2 F x y$ 在单位球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$上的最大值和最小值分别对应矩阵 $M=\left(\begin{array}{ccc}A & F & E \\ F & B & D \\ E & D & C\end{array}\right)$ 的最大特征值和最小特征值．
第0题
1．已知类才！$\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{1}{k}-\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)\right], n=1,2,3, \cdots$ 。
（1）证明：$\left\{b_{n}\right\}$ 收敛；
（2）设 $\gamma=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}$ ，探求数列 $\left\{b_{n}-\gamma\right\}$ 的等价无穷小。
（1）证明：$\left\{b_{n}\right\}$ 收敛；
（2）设 $\gamma=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}$ ，探求数列 $\left\{b_{n}-\gamma\right\}$ 的等价无穷小。
第0题
2．已知 $f \in C^{1}[0,1], f^{(n)}(0)=0, n=0,1,2, \cdots, M$ 为大于 0 的常数，且 $\forall x \in[0,1]$ ，有
$$
\left|x^{\alpha} f^{\prime}(x)\right| \leq M|f(x)|
$$
（1）若 $\alpha=1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x^{n}}=0(n=0,1,2, \cdots)$ ，并进一步证明 $f(x) \equiv 0, \forall x \in[0,1]$ ；
（2）若 $\alpha>1$ ，证明：$f(x) \equiv 0$ 可以不成立．
$$
\left|x^{\alpha} f^{\prime}(x)\right| \leq M|f(x)|
$$
（1）若 $\alpha=1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x^{n}}=0(n=0,1,2, \cdots)$ ，并进一步证明 $f(x) \equiv 0, \forall x \in[0,1]$ ；
（2）若 $\alpha>1$ ，证明：$f(x) \equiv 0$ 可以不成立．