电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
6．$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{\cdots}}}}=$ $\_\_\_\_$ （用具体实数表示）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设未知数表示无限嵌套根式
令 $x = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \cdots}}}$，由于嵌套无限，根号内的表达式与整体相同，因此有 $x = \sqrt{6 + x}$。
公式：x = \sqrt{6 + x}
提示：注意无限嵌套结构的自相似性，这是列方程的关键。
步骤 2/5
目标：两边平方去掉根号
对等式 $x = \sqrt{6 + x}$ 两边平方，得 $x^2 = 6 + x$。
公式：x^2 = 6 + x
提示：平方时注意右边是 $6+x$ 整体，不要漏掉括号。
步骤 3/5
目标：整理为二次方程
将 $x^2 = 6 + x$ 移项，得到 $x^2 - x - 6 = 0$。
公式：x^2 - x - 6 = 0
提示：移项要变号，确保方程形式为 $ax^2+bx+c=0$。
步骤 4/5
目标：解二次方程
因式分解 $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) = 0$，解得 $x = 3$ 或 $x = -2$。
公式：(x-3)(x+2)=0
提示：因式分解时注意常数项 $-6$ 的分解，也可用求根公式验证。
步骤 5/5
目标：根据实际意义取舍
由于 $x$ 表示根号的值，根号结果非负，故舍去 $x = -2$，取 $x = 3$。
公式：x = 3
提示：注意算术平方根的非负性，这是常见的取舍依据。
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