电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
3．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n} x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定幂级数的通项系数
给定级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n} x^{n}$，其通项系数为 $a_n = \frac{\ln n}{n}$。
公式：$a_n = \frac{\ln n}{n}$
提示：注意 $n$ 从1开始，但 $\ln 1 = 0$，第一项为0，不影响收敛性。
步骤 2/5
目标：求收敛半径
使用比值法：$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n+1)}{n+1} \cdot \frac{n}{\ln n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} \cdot \frac{\ln(n+1)}{\ln n} = 1 \cdot 1 = 1$。因此收敛半径 $R = 1$。
公式：$R = \frac{1}{\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|} = 1$
提示：比值极限为1时，收敛半径等于1，但需单独判断端点。
步骤 3/5
目标：判断端点 x=1 处的收敛性
当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}$。由于 $\ln n > 1$ 对 $n \geq 3$ 成立，故 $\frac{\ln n}{n} > \frac{1}{n}$，而调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，由比较判别法知该级数发散。
公式：$\frac{\ln n}{n} > \frac{1}{n}$ 对 $n \geq 3$
提示：注意比较时需确保不等式方向正确，且调和级数发散是已知结论。
步骤 4/5
目标：判断端点 x=-1 处的收敛性
当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n} (-1)^n$，这是交错级数。令 $b_n = \frac{\ln n}{n}$，则 $b_n$ 单调递减（对 $n > e$，函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 导数 $f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}<0$），且 $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$。由莱布尼茨判别法，级数条件收敛。
公式：$b_n = \frac{\ln n}{n}$，$\lim_{n\to\infty} b_n = 0$，$b_n$ 递减
提示：莱布尼茨判别法要求通项绝对值单调递减趋于0，需验证单调性。
步骤 5/5
目标：综合得出收敛域
由收敛半径 $R=1$ 知，在 $|x|<1$ 时级数绝对收敛；在 $x=1$ 处发散，在 $x=-1$ 处条件收敛。因此收敛域为 $[-1, 1)$。
公式：收敛域 $= [-1, 1)$
提示：注意左闭右开，不要遗漏端点判断。
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