电子科技大学 2022年数学分析第0题

给定二次型 $f(x, y, z)=A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 D y z+2 E z x+2 F x y$，可以写成矩阵乘积 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T M \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = (x, y, z)^T$，矩阵 $M = \begin{pmatrix} A & F & E \\ F & B & D \\ E & D & C \end{pmatrix}$。由于交叉项系数对称，$M$ 是实对称矩阵。

约束条件 $x^2+y^2+z^2=1$ 即 $\mathbf{x}^T\mathbf{x}=1$。因此 $f(\mathbf{x}) = \frac{\mathbf{x}^T M \mathbf{x}}{\mathbf{x}^T \mathbf{x}}$ 在单位球面上就是瑞利商本身。对于实对称矩阵 $M$，瑞利商的取值范围介于最小特征值和最大特征值之间。

由于 $M$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T M Q = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$，其中 $\lambda_1 \le \lambda_2 \le \lambda_3$ 是 $M$ 的特征值。令 $\mathbf{y} = Q^T \mathbf{x}$，则 $\|\mathbf{y}\| = \|\mathbf{x}\| = 1$，且 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T M \mathbf{x} = \mathbf{y}^T (Q^T M Q) \mathbf{y} = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$。

问题转化为在 $y_1^2+y_2^2+y_3^2=1$ 下求 $g(y_1,y_2,y_3)=\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\lambda_3 y_3^2$ 的极值。由于 $\lambda_1 \le \lambda_2 \le \lambda_3$，且 $y_i^2 \ge 0$，有 $\lambda_1 (y_1^2+y_2^2+y_3^2) \le g \le \lambda_3 (y_1^2+y_2^2+y_3^2)$，即 $\lambda_1 \le g \le \lambda_3$。当 $y_1=1, y_2=y_3=0$ 时取最小值 $\lambda_1$；当 $y_3=1, y_1=y_2=0$ 时取最大值 $\lambda_3$。

由于 $\mathbf{y} = Q^T \mathbf{x}$ 且 $Q$ 正交，存在原变量 $\mathbf{x}$ 使得 $\mathbf{y}$ 取上述极值点（即 $\mathbf{x}$ 取 $M$ 的对应特征向量）。因此原二次型 $f(x,y,z)$ 在单位球面上的最大值等于 $M$ 的最大特征值 $\lambda_3$，最小值等于 $M$ 的最小特征值 $\lambda_1$。