电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．已知 $f \in C^{1}[0,1], f^{(n)}(0)=0, n=0,1,2, \cdots, M$ 为大于 0 的常数，且 $\forall x \in[0,1]$ ，有
$$
\left|x^{\alpha} f^{\prime}(x)\right| \leq M|f(x)|
$$
（1）若 $\alpha=1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x^{n}}=0(n=0,1,2, \cdots)$ ，并进一步证明 $f(x) \equiv 0, \forall x \in[0,1]$ ；
（2）若 $\alpha>1$ ，证明：$f(x) \equiv 0$ 可以不成立．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明 n=0 时极限成立
由已知条件 $f^{(0)}(0)=0$ 即 $f(0)=0$，因此 $\lim_{x\to 0^+} f(x) = f(0) = 0$，故 $\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)}{x^0} = 0$ 成立。
公式：$f(0)=0$
提示：注意 $n=0$ 时极限即为函数值极限，直接由条件得出。
步骤 2/5
目标：推导微分不等式并分析 $f(x)/x^n$ 的极限
当 $\alpha=1$ 时，条件为 $|x f'(x)| \le M|f(x)|$。令 $h(x)=\frac{f(x)}{x^n}$，则 $h'(x)=\frac{x f'(x)-n f(x)}{x^{n+1}}$。由三角不等式：$|x f'(x)-n f(x)| \le |x f'(x)|+n|f(x)| \le (M+n)|f(x)|$，故 $|h'(x)| \le (M+n)\frac{|f(x)|}{x^{n+1}} = (M+n)\frac{|h(x)|}{x}$。
公式：$|h'(x)| \le \frac{M+n}{x}|h(x)|$
提示：注意 $h(x)$ 在 $x=0$ 附近可能无定义，需考虑极限行为。
步骤 3/5
目标：利用微分不等式积分得到 $h(x)$ 的衰减估计
由 $|h'(x)| \le \frac{C}{x}|h(x)|$（$C=M+n$），可得 $\frac{d}{dx}\ln|h(x)| \le \frac{C}{x}$。对 $0<\varepsilon
公式：$|h(x)| \le |h(\varepsilon)|\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)^C$
提示：关键是用 $f^{(n)}(0)=0$ 保证 $f(\varepsilon)$ 比任意幂次衰减都快。
步骤 4/5
目标：证明 $f(x)\equiv 0$ 在 $[0,1]$ 上成立
对任意 $x\in(0,1]$，由微分不等式 $|f'(t)|\le M\frac{|f(t)|}{t}$ 在 $(0,x]$ 上积分得 $\ln\frac{|f(x)|}{|f(\delta)|} \le M\ln\frac{x}{\delta}$，即 $|f(x)|\le |f(\delta)|\left(\frac{x}{\delta}\right)^M$。令 $\delta\to 0^+$，由已证 $f(\delta)=o(\delta^{M+1})$ 知右边趋于 $0$，故 $f(x)=0$。由 $x$ 任意性得 $f(x)\equiv 0$。
公式：$|f(x)|\le |f(\delta)|\left(\frac{x}{\delta}\right)^M$
提示：注意 $\delta$ 趋于 $0$ 时 $f(\delta)$ 的衰减速度必须快于 $\delta^M$，这由第一步的极限保证。
步骤 5/5
目标：构造反例说明 $\alpha>1$ 时结论不成立
取 $f(x)=e^{-1/x^\beta}$，其中 $\beta>0$ 且 $\beta<\alpha-1$（因 $\alpha>1$，这样的 $\beta$ 存在，例如 $\alpha=2$，$\beta=0.5$）。则 $f'(x)=\frac{\beta}{x^{\beta+1}}e^{-1/x^\beta}$，于是 $|x^\alpha f'(x)|=\beta x^{\alpha-\beta-1}e^{-1/x^\beta}$。不等式 $|x^\alpha f'(x)|\le M|f(x)|$ 化为 $\beta x^{\alpha-\beta-1}\le M$。当 $x\to 0^+$ 时，$\alpha-\beta-1>0$ 使左边趋于 $0$，故存在常数 $M$（如取 $M=\beta$）使不等式在 $[0,1]$ 上成立。而 $f(x)$ 不恒为零，且满足 $f^{(n)}(0)=0$ 对所有 $n$ 成立。
公式：$f(x)=e^{-1/x^\beta},\quad \beta<\alpha-1$
提示：反例需验证所有条件：$C^1$ 光滑性、各阶导数在 $0$ 处为 $0$、不等式成立。
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