电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
4．已知 $\Sigma: x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1$ 为椭球面，方向为椭球面外侧，计算第二型曲面积分
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I=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将积分写成向量点积形式，便于应用高斯公式
原积分为 $I = \iint_{\Sigma} \frac{x\, dy\, dz + y\, dz\, dx + z\, dx\, dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$。令向量场 $\mathbf{F} = \left( \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \right)$，则 $I = \iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$，其中 $d\mathbf{S}$ 方向为椭球面外侧。
公式：$I = \iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$
提示：注意第二型曲面积分与向量点积的对应关系，$d\mathbf{S} = (dy\,dz,\, dz\,dx,\, dx\,dy)$。
步骤 2/6
目标：尝试用高斯公式，计算散度并发现奇点
高斯公式：$\iint_{\partial\Omega} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$。令 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则 $F_x = x/r^3$，$F_y = y/r^3$，$F_z = z/r^3$。计算偏导：$\frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{r^2 - 3x^2}{r^5}$，同理 $\frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{r^2 - 3y^2}{r^5}$，$\frac{\partial F_z}{\partial z} = \frac{r^2 - 3z^2}{r^5}$。相加得 $\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{3r^2 - 3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = 0$，但原点处 $r=0$ 使分母为零，散度无定义，原点为奇点。
公式：$\nabla\cdot\mathbf{F} = 0$（$r\neq 0$）
提示：散度在除原点外处处为零，但原点在椭球内部，不能直接对整个椭球内部用高斯公式。
步骤 3/6
目标：挖去奇点，构造无奇点区域应用高斯公式
取小球面 $S_\varepsilon: x^2+y^2+z^2 = \varepsilon^2$（$\varepsilon$ 充分小），方向取内侧（指向小球内部）。则椭球面 $\Sigma$ 与小球面 $S_\varepsilon$（内侧）围成区域 $\Omega_\varepsilon$（椭球内挖去小球），该区域内 $\nabla\cdot\mathbf{F}=0$。由高斯公式：$\iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} + \iint_{S_\varepsilon(\text{内})} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega_\varepsilon} 0\,dV = 0$，故 $\iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = -\iint_{S_\varepsilon(\text{内})} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$。
公式：$\iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = -\iint_{S_\varepsilon(\text{内})} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$
提示：注意小球面方向取内侧，与椭球面外侧共同构成封闭区域的外侧。
步骤 4/6
目标：将内侧小球面积分转化为外侧小球面积分
内侧与外侧方向相反，故 $\iint_{S_\varepsilon(\text{内})} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = -\iint_{S_\varepsilon(\text{外})} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$。代入上式得 $\iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_{S_\varepsilon(\text{外})} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$。
公式：$\iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_{S_\varepsilon(\text{外})} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$
提示：方向变换时注意符号，外侧到内侧差一个负号。
步骤 5/6
目标：计算小球面上的积分
在小球面 $S_\varepsilon$ 上，$r=\varepsilon$ 为常数，外侧法向单位向量为 $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{r}$，$d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS$。则 $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \frac{\mathbf{r}}{r}\,dS = \frac{r}{r^4}\,dS = \frac{1}{r^2}\,dS = \frac{1}{\varepsilon^2}\,dS$。积分得 $\iint_{S_\varepsilon(\text{外})} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot 4\pi\varepsilon^2 = 4\pi$。
公式：$\iint_{S_\varepsilon(\text{外})} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 4\pi$
提示：小球面面积 $4\pi\varepsilon^2$，与 $1/\varepsilon^2$ 相乘得常数，与 $\varepsilon$ 无关。
步骤 6/6
目标：得出原积分结果
由前几步得 $I = \iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 4\pi$。该结果与椭球的具体形状无关，只要曲面光滑封闭且包含原点，结果均为 $4\pi$。
公式：$I = 4\pi$
提示：注意原点必须在曲面内部，否则需另行处理。
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