电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．计算二重积分
$$
I=\iint_{\substack{1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 \\ y \leq x}} \sin \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区域并转换为极坐标
积分区域由 $1 \le x^2 + y^2 \le 4$ 和 $y \le x$ 确定。在极坐标下，令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $x^2+y^2 = r^2$，条件变为 $1 \le r \le 2$。由 $y \le x$ 得 $r\sin\theta \le r\cos\theta$，约去 $r>0$ 得 $\sin\theta \le \cos\theta$，即 $\tan\theta \le 1$，解得 $\theta \in \left[-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$。
公式：$x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$
提示：注意 $y \le x$ 对应的角度范围要结合单位圆上的正弦和余弦大小关系，不要遗漏负角度部分。
步骤 2/5
目标：写出极坐标下的二重积分表达式
被积函数 $\sin\left(\pi\sqrt{x^2+y^2}\right) = \sin(\pi r)$，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。积分化为：
$$ I = \int_{\theta = -3\pi/4}^{\pi/4} \int_{r=1}^{2} \sin(\pi r) \cdot r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta $$
公式：$I = \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} \int_{1}^{2} r\sin(\pi r) \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta$
提示：被积函数与 $\theta$ 无关，可以分离变量。
步骤 3/5
目标：计算角度部分的积分
角度积分：
$$ \int_{-3\pi/4}^{\pi/4} \mathrm{d}\theta = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \pi $$
公式：$\int_{-3\pi/4}^{\pi/4} \mathrm{d}\theta = \pi$
提示：注意区间长度计算，避免符号错误。
步骤 4/5
目标：计算径向积分 $\int_{1}^{2} r\sin(\pi r) \, \mathrm{d}r$
使用分部积分法：令 $u = r$，$\mathrm{d}v = \sin(\pi r)\,\mathrm{d}r$，则 $\mathrm{d}u = \mathrm{d}r$，$v = -\frac{\cos(\pi r)}{\pi}$。
$$ \begin{aligned} J &= \int_{1}^{2} r\sin(\pi r) \, \mathrm{d}r \\ &= \left[ -\frac{r\cos(\pi r)}{\pi} \right]_{1}^{2} + \frac{1}{\pi} \int_{1}^{2} \cos(\pi r) \, \mathrm{d}r \\ &= \left( -\frac{2\cos(2\pi)}{\pi} \right) - \left( -\frac{1\cos(\pi)}{\pi} \right) + \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin(\pi r)}{\pi} \right]_{1}^{2} \\ &= \left( -\frac{2}{\pi} \right) - \left( \frac{1}{\pi} \right) + \frac{1}{\pi^2} (\sin(2\pi) - \sin(\pi)) \\ &= -\frac{3}{\pi} + 0 = -\frac{3}{\pi} \end{aligned} $$
公式：$\int r\sin(\pi r) \, \mathrm{d}r = -\frac{r\cos(\pi r)}{\pi} + \frac{\sin(\pi r)}{\pi^2} + C$
提示：分部积分时注意符号，计算边界值要小心：$\cos(2\pi)=1$，$\cos(\pi)=-1$，$\sin(2\pi)=\sin(\pi)=0$。
步骤 5/5
目标：合并结果得到最终积分值
将角度积分和径向积分相乘：
$$ I = \pi \cdot \left( -\frac{3}{\pi} \right) = -3 $$
公式：$I = -3$
提示：最终结果为负数，注意检查积分区域和被积函数的符号。
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