电子科技大学 2022年数学分析第0题

平面方程为 $x+y+z=1$，与坐标轴的交点为 $A(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(0,0,1)$，构成三角形 $L$。方向规定：沿 $x$ 轴正方向看去为逆时针方向，这对应于法向量指向 $x$ 正方向一侧，即法向量取 $(1,1,1)$ 方向。

将曲线积分 $I=\oint_L (x^2-y^2)dz+(y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy$ 写为 $\oint_L Pdx+Qdy+Rdz$，其中 $P=y^2-z^2$，$Q=z^2-x^2$，$R=x^2-y^2$。由斯托克斯公式：$\oint_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} dS$，$S$ 为三角形区域。

计算旋度 $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$。 - $x$ 分量：$\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = -2y - 2z = -2(y+z)$ - $y$ 分量：$\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = -2z - 2x = -2(z+x)$ - $z$ 分量：$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -2x - 2y = -2(x+y)$ 故 $\nabla \times \mathbf{F} = (-2(y+z), -2(z+x), -2(x+y))$。

平面法向量为 $(1,1,1)$，根据方向规定取单位法向量 $\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$。计算点积：$(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}[-2(y+z)-2(z+x)-2(x+y)] = \frac{1}{\sqrt{3}}[-4(x+y+z)]$。在平面上 $x+y+z=1$，故 $(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} = -\frac{4}{\sqrt{3}}$。

三角形 $S$ 的顶点为 $(1,0,0)$，$(0,1,0)$，$(0,0,1)$，边长均为 $\sqrt{2}$，面积为 $S = \frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$。曲面积分 $\iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n} dS = \left(-\frac{4}{\sqrt{3}}\right) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -2$。

由斯托克斯公式，原曲线积分等于曲面积分，故 $I = -2$。