电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
5．讨论 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x^{y}(\pi-x)^{2-y}} \mathrm{~d} x$ 的连续范围．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别瑕点并分析x=0附近的行为
积分区间为(0, π)，在x=0和x=π处分母可能为零，因此有两个瑕点。在x=0附近，sin x ~ x，且(π-x)^{2-y} ~ π^{2-y}，故被积函数~ \frac{x}{x^y \pi^{2-y}} = \frac{1}{\pi^{2-y}} x^{1-y}。幂函数x^p在0附近可积的条件是p > -1，因此需要1-y > -1，即y < 2。
公式：\frac{\sin x}{x^y(\pi-x)^{2-y}} \sim \frac{1}{\pi^{2-y}} x^{1-y} \quad (x \to 0^+)
提示：注意sin x的等价无穷小替换，以及幂函数可积性的判别条件。
步骤 2/4
目标：分析x=π附近的行为
令t = π - x，当t→0⁺时，sin x = sin(π - t) = sin t ~ t，且x^y ~ π^y，故被积函数~ \frac{t}{\pi^y t^{2-y}} = \frac{1}{\pi^y} t^{y-1}。幂函数t^{y-1}在0附近可积的条件是y-1 > -1，即y > 0。
公式：\frac{\sin x}{x^y(\pi-x)^{2-y}} \sim \frac{1}{\pi^y} t^{y-1} \quad (t = \pi - x \to 0^+)
提示：换元后注意指数变化，不要混淆y的取值方向。
步骤 3/4
目标：综合收敛范围
由x=0处得y<2，由x=π处得y>0，因此积分收敛当且仅当0 < y < 2。
公式：0 < y < 2
提示：两个条件必须同时满足，取交集。
步骤 4/4
目标：讨论积分作为y的函数的连续性
含参量反常积分在(0,2)内连续，需验证被积函数在(0,π)×(0,2)内连续，且积分在任意闭区间[a,b]⊂(0,2)上一致收敛。在x=0和x=π附近，可用幂函数控制（如x^{1-y}和t^{y-1}），且对y∈[a,b]，控制函数与y无关，从而一致收敛。因此积分在(0,2)上连续。在端点y=0和y=2处积分发散，故连续范围即为开区间(0,2)。
公式：\int_0^\pi \frac{\sin x}{x^y(\pi-x)^{2-y}} \, dx \text{ 在 } y \in (0,2) \text{ 上连续}
提示：一致收敛性的证明通常需要构造与y无关的控制函数，注意端点处发散意味着连续区间是开区间。
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