电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
4．空间曲面 $x y+e^{z}-z=3$ 在点 $(2,1,0)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造函数并验证点是否在曲面上
令 $F(x,y,z) = xy + e^z - z - 3$，则曲面方程为 $F(x,y,z)=0$。将点 $(2,1,0)$ 代入：$2\cdot 1 + e^0 - 0 - 3 = 2+1-3=0$，满足方程，故点在曲面上。
公式：$F(x,y,z)=xy+e^z-z-3$
提示：构造 $F$ 时注意将方程右端化为0，便于使用梯度求法向量。
步骤 2/4
目标：求梯度向量（法向量）
计算 $F$ 的三个偏导数：
$\frac{\partial F}{\partial x}=y$，
$\frac{\partial F}{\partial y}=x$，
$\frac{\partial F}{\partial z}=e^z-1$。
在点 $(2,1,0)$ 处：
$\frac{\partial F}{\partial x}=1$，
$\frac{\partial F}{\partial y}=2$，
$\frac{\partial F}{\partial z}=e^0-1=0$。
因此法向量 $\mathbf{n} = (1,2,0)$。
公式：$\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)$
提示：注意 $e^z$ 的导数是 $e^z$，常数 $-z$ 的导数是 $-1$，两者合并得 $e^z-1$。
步骤 3/4
目标：写出切平面方程
切平面方程公式：$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$。
代入数值：$1\cdot(x-2)+2\cdot(y-1)+0\cdot(z-0)=0$，
化简得 $x-2+2y-2=0$，即 $x+2y-4=0$。
公式：$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$
提示：当 $F_z=0$ 时，切平面方程不含 $z$ 项，说明切平面平行于 $z$ 轴。
步骤 4/4
目标：验证结果
将点 $(2,1,0)$ 代入切平面方程 $x+2y-4=0$：$2+2\cdot1-4=0$，成立。法向量 $(1,2,0)$ 与切平面垂直，结果正确。
公式：无
提示：验证是避免计算错误的重要步骤，尤其注意偏导数值是否正确。
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