电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．已知 $f$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $f(0)=0,0 \leq f^{\prime}(x) \leq 1$ ，对 $\forall x \in[0,1]$ ，证明：
$$
\int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x \leq\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件和目标
已知 $f$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(0)=0$，且 $0 \leq f'(x) \leq 1$ 对 $\forall x \in [0,1]$ 成立。要证明：$$\int_0^1 f^3(x) \, dx \leq \left( \int_0^1 f(x) \, dx \right)^2$$ 由导数非负知 $f$ 单调递增，且由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,x)$ 使得 $f(x)=f' (\xi)x \leq x$，故 $0 \leq f(x) \leq x$。
公式：f(x) = f' (\xi) x \leq x
提示：注意 $f'(x) \geq 0$ 保证单调性，$f'(x) \leq 1$ 给出上界。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数
考虑辅助函数 $$F(t) = \left( \int_0^t f(x) \, dx \right)^2 - \int_0^t f^3(x) \, dx$$ 目标是证明 $F(1) \geq 0$。
公式：F(t) = \left( \int_0^t f(x) \, dx \right)^2 - \int_0^t f^3(x) \, dx
提示：构造差值函数是处理积分不等式的常用技巧。
步骤 3/5
目标：对 $F(t)$ 求导
对 $F(t)$ 求导得：$$F'(t) = 2\left( \int_0^t f(x) \, dx \right) f(t) - f^3(t) = f(t) \left[ 2\int_0^t f(x) \, dx - f^2(t) \right]$$
公式：F'(t) = f(t) \left[ 2\int_0^t f(x) \, dx - f^2(t) \right]
提示：求导时注意积分上限的导数即为被积函数在 $t$ 处的值。
步骤 4/5
目标：分析括号内函数 $G(t)$ 的单调性
令 $G(t) = 2\int_0^t f(x) \, dx - f^2(t)$，则 $G(0)=0$。对 $G(t)$ 求导：$$G'(t) = 2f(t) - 2f(t)f'(t) = 2f(t)(1 - f'(t))$$ 由 $0 \leq f'(t) \leq 1$ 得 $1 - f'(t) \geq 0$，且 $f(t) \geq 0$，故 $G'(t) \geq 0$，$G(t)$ 单调递增，从而 $G(t) \geq G(0)=0$。
公式：G'(t) = 2f(t)(1 - f'(t)) \geq 0
提示：注意 $f(t) \geq 0$ 和 $f'(t) \leq 1$ 是关键条件。
步骤 5/5
目标：确定 $F'(t)$ 的符号并得出结论
由于 $f(t) \geq 0$ 且 $G(t) \geq 0$，有 $F'(t) = f(t) G(t) \geq 0$，故 $F(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。又 $F(0)=0$，所以 $F(t) \geq 0$ 对 $\forall t \in [0,1]$ 成立。特别地，取 $t=1$ 得：$$\left( \int_0^1 f(x) \, dx \right)^2 - \int_0^1 f^3(x) \, dx \geq 0$$ 即 $$\int_0^1 f^3(x) \, dx \leq \left( \int_0^1 f(x) \, dx \right)^2$$
公式：F'(t) = f(t) G(t) \geq 0, \quad F(1) \geq 0
提示：单调性和初始值结合得到非负性。
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