电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．已知类才！$\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{1}{k}-\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)\right], n=1,2,3, \cdots$ 。
（1）证明：$\left\{b_{n}\right\}$ 收敛；
（2）设 $\gamma=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}$ ，探求数列 $\left\{b_{n}-\gamma\right\}$ 的等价无穷小。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出数列定义并分析通项
已知 $b_n = \sum_{k=1}^n \left[ \frac{1}{k} - \ln\left(1+\frac{1}{k}\right) \right]$，令 $a_k = \frac{1}{k} - \ln\left(1+\frac{1}{k}\right)$。利用 $\ln(1+x)$ 的泰勒展开：当 $x> -1$ 时，$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$。取 $x = \frac{1}{k}$，得 $\ln\left(1+\frac{1}{k}\right) = \frac{1}{k} - \frac{1}{2k^2} + \frac{1}{3k^3} - \cdots$，因此 $a_k = \frac{1}{k} - \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{2k^2} + O\left(\frac{1}{k^3}\right) \right) = \frac{1}{2k^2} - \frac{1}{3k^3} + O\left(\frac{1}{k^4}\right)$。
公式：$a_k = \frac{1}{2k^2} - \frac{1}{3k^3} + O\left(\frac{1}{k^4}\right)$
提示：注意 $\ln(1+x)$ 的展开式在 $x$ 较小时收敛，这里 $x=1/k$ 当 $k$ 大时很小，展开有效。
步骤 2/5
目标：证明正项级数收敛
由 $a_k$ 的展开可知，当 $k$ 充分大时，$0 < a_k < \frac{1}{k^2}$（例如取 $k \ge 1$ 时，$a_k > 0$ 可由 $\ln(1+x) < x$ 得到；上界由展开式主项控制）。由于 $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$ 收敛（$p$-级数，$p=2>1$），由比较判别法知 $\sum_{k=1}^\infty a_k$ 收敛。而 $b_n$ 正是该级数的部分和，故 $\{b_n\}$ 收敛。
公式：$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum_{k=1}^\infty a_k$ 收敛
提示：注意 $a_k > 0$ 的严格证明：由 $\ln(1+x) < x$ 对 $x>0$ 成立，得 $\frac{1}{k} - \ln(1+\frac{1}{k}) > 0$。
步骤 3/5
目标：将余项表示为无穷级数
设 $\gamma = \lim_{n\to\infty} b_n$，则 $b_n - \gamma = -\sum_{k=n+1}^\infty a_k$。记余项 $R_n = \sum_{k=n+1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \ln\left(1+\frac{1}{k}\right) \right]$，我们需要求 $n\to\infty$ 时 $R_n$ 的等价无穷小。
公式：$R_n = \sum_{k=n+1}^\infty a_k$
提示：注意 $b_n - \gamma = -R_n$，但等价无穷小只关心绝对值的主阶，符号不影响阶数。
步骤 4/5
目标：利用展开式对余项进行渐近估计
将 $a_k = \frac{1}{2k^2} - \frac{1}{3k^3} + O\left(\frac{1}{k^4}\right)$ 代入 $R_n$：$R_n = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{2k^2} - \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{3k^3} + \sum_{k=n+1}^\infty O\left(\frac{1}{k^4}\right)$。利用积分估计：$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^2} \sim \int_n^\infty \frac{dx}{x^2} = \frac{1}{n}$，更精确地 $\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$；$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^3} \sim \int_n^\infty \frac{dx}{x^3} = \frac{1}{2n^2}$。
公式：$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$，$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^3} = \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$
提示：积分估计时注意求和下限是 $n+1$，但渐近主项与从 $n$ 开始相同。
步骤 5/5
目标：计算主项并得出等价无穷小
代入得：$R_n = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \right) - \frac{1}{3}\left( \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \right) + O\left(\frac{1}{n^3}\right) = \frac{1}{2n} - \frac{1}{4n^2} - \frac{1}{6n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) = \frac{1}{2n} - \frac{5}{12n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$。因此当 $n\to\infty$ 时，$R_n \sim \frac{1}{2n}$，即 $b_n - \gamma \sim \frac{1}{2n}$。
公式：$b_n - \gamma \sim \frac{1}{2n}$
提示：等价无穷小只取主项，$\frac{1}{2n}$ 是主导，$\frac{5}{12n^2}$ 是高阶小量，可忽略。
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