电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
3．已知 $f \in \mathbb{C}[0,1]$ ，且 $f(1)=0$ ，证明：函数列 $\left\{x^{n} f(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定逐点极限函数
对于任意固定的 $x \in [0,1)$，由于 $0 \le x < 1$，有 $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$，因此 $\lim_{n \to \infty} x^n f(x) = 0$。对于 $x = 1$，由条件 $f(1) = 0$，得 $1^n f(1) = 0$。故逐点极限函数为 $g(x) = 0$，$\forall x \in [0,1]$。
公式：\lim_{n\to\infty} x^n f(x) = 0, \quad \forall x \in [0,1]
提示：注意 $x=1$ 处需单独验证，不能直接套用 $x^n \to 0$ 的结论。
步骤 2/5
目标：将问题转化为一致收敛定义
要证明 $\{x^n f(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛到 $0$，即证明 $\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[0,1]} |x^n f(x)| = 0$。由于 $f$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，故有界，记 $M = \max_{x\in[0,1]} |f(x)|$。但直接使用 $|x^n f(x)| \le M x^n$ 在 $x=1$ 处不能趋于 $0$，需要利用 $f(1)=0$ 改进估计。
公式：\sup_{x\in[0,1]} |x^n f(x)| \le \sup_{x\in[0,1]} M x^n = M
提示：仅用有界性不足以证明一致收敛，必须利用 $f(1)=0$ 在端点附近的衰减。
步骤 3/5
目标：利用连续性在 $x=1$ 附近控制 $f(x)$
由 $f$ 连续且 $f(1)=0$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得当 $1-\delta < x \le 1$ 时，$|f(x)| < \varepsilon$。将区间 $[0,1]$ 分为 $[0, 1-\delta]$ 和 $[1-\delta, 1]$ 两部分分别处理。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in (1-\delta, 1]: |f(x)| < \varepsilon
提示：$\delta$ 的选取依赖于 $\varepsilon$，这是典型的一致连续或局部控制技巧。
步骤 4/5
目标：估计两部分上的一致上界
在 $[0, 1-\delta]$ 上，$x^n \le (1-\delta)^n$，且 $|f(x)| \le M$，故 $|x^n f(x)| \le M (1-\delta)^n$。由于 $0<1-\delta<1$，存在 $N_1$ 使得当 $n \ge N_1$ 时 $M(1-\delta)^n < \varepsilon$。在 $[1-\delta, 1]$ 上，$|f(x)| < \varepsilon$ 且 $x^n \le 1$，故 $|x^n f(x)| < \varepsilon$。
公式：\begin{cases} |x^n f(x)| \le M(1-\delta)^n, & x \in [0,1-\delta] \\ |x^n f(x)| < \varepsilon, & x \in [1-\delta, 1] \end{cases}
提示：注意 $[1-\delta, 1]$ 上的估计不依赖于 $n$，而 $[0,1-\delta]$ 上的估计随 $n$ 增大而趋于 $0$。
步骤 5/5
目标：综合得到一致收敛性
取 $N = N_1$，则对所有 $n \ge N$ 和所有 $x \in [0,1]$，均有 $|x^n f(x)| < \varepsilon$。由一致收敛定义，$\{x^n f(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛到 $0$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, \forall x \in [0,1]: |x^n f(x)| < \varepsilon
提示：这里 $N$ 的选取依赖于 $\varepsilon$ 和 $\delta$，但 $\delta$ 本身由 $\varepsilon$ 决定，因此整体只依赖于 $\varepsilon$。
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