电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．已知 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-x)$ 的极限存在，证明：
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x}=1$ ；
（2）对 $\forall \lambda \in(0,1)$ ，存在 $\xi_{\lambda} \in \mathbb{R}$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_{\lambda}\right)=\lambda$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知条件，明确极限存在性
已知 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，且 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = A$（有限数），$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = B$（有限数）。
公式：$\lim_{x \to -\infty} f(x) = A$，$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = B$
提示：注意第二个极限是 $f(x)-x$ 的极限，不是 $f(x)$ 的极限。
步骤 2/5
目标：证明第一个极限等式：$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x} = 0$
当 $x \to -\infty$ 时，分母 $x \to -\infty$，分子 $f(x)-f(0) \to A - f(0)$（有限数），有限数除以无穷大趋于 $0$，因此极限为 $0$。
公式：$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x} = 0$
提示：此处不需要用到可导性，仅需极限存在。
步骤 3/5
目标：证明第二个极限等式：$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x} = 1$
由 $\lim_{x \to +\infty} (f(x)-x) = B$ 得 $f(x) = x + B + o(1)$（$x \to +\infty$）。于是 $\frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{x + B - f(0) + o(1)}{x} = 1 + \frac{B - f(0)}{x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$。当 $x \to +\infty$ 时，后两项趋于 $0$，故极限为 $1$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x} = 1$
提示：注意 $o(1)$ 表示无穷小量，$o(1/x)$ 表示比 $1/x$ 高阶的无穷小。
步骤 4/5
目标：构造辅助函数 $g(x)$ 并分析其极限行为
对任意 $\lambda \in (0,1)$，令 $g(x) = f(x) - \lambda x$，则 $g$ 可导且 $g'(x) = f'(x) - \lambda$。
当 $x \to -\infty$ 时，$f(x) \to A$，而 $-\lambda x \to +\infty$（因为 $\lambda>0$，$x \to -\infty$），故 $g(x) \to +\infty$。
当 $x \to +\infty$ 时，$f(x) = x + B + o(1)$，则 $g(x) = (1-\lambda)x + B + o(1)$，由于 $1-\lambda > 0$，故 $g(x) \to +\infty$。
公式：$g(x) = f(x) - \lambda x$，$\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty$，$\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$
提示：注意 $\lambda$ 在 $(0,1)$ 内，所以 $1-\lambda > 0$。
步骤 5/5
目标：利用极值存在性证明存在 $\xi_\lambda$ 使得 $f'(\xi_\lambda) = \lambda$
由于 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续且两端趋于 $+\infty$，故 $g$ 必有全局最小值。设最小值在 $x = \xi_\lambda$ 处取得，则 $\xi_\lambda$ 为内点极值点，由费马定理得 $g'(\xi_\lambda) = 0$，即 $f'(\xi_\lambda) - \lambda = 0$，所以 $f'(\xi_\lambda) = \lambda$。
公式：$g'(\xi_\lambda) = 0 \Rightarrow f'(\xi_\lambda) = \lambda$
提示：费马定理要求函数在极值点可导，此处 $g$ 可导，条件满足。
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