电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．已知 $f \in \mathbb{C}(0,1)$ ，则 $f$ 在 $(0,1)$ 上一致连续的充要条件为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解一致连续的定义
函数 $f$ 在 $(0,1)$ 上一致连续是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x, y \in (0,1)$，只要 $|x - y| < \delta$，就有 $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x,y \in (0,1): |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续与逐点连续的区别：逐点连续中 $\delta$ 依赖于 $x$，而一致连续中 $\delta$ 与 $x$ 无关。
步骤 2/5
目标：分析开区间上连续与一致连续的关系
在开区间 $(0,1)$ 上，连续函数不一定一致连续，例如 $f(x) = 1/x$ 在 $(0,1)$ 上连续但非一致连续，因为当 $x$ 接近 $0$ 时函数值变化剧烈。一致连续要求函数在区间内变化均匀，不能有“无限陡”的局部行为。
提示：思考反例：$f(x)=\sin(1/x)$ 在 $(0,1)$ 上连续但非一致连续，因为靠近 $0$ 时振荡频率无限增大。
步骤 3/5
目标：推导充要条件的必要性：一致连续蕴含端点极限存在
假设 $f$ 在 $(0,1)$ 上一致连续。取 $\varepsilon = 1$，存在 $\delta > 0$ 使得当 $|x-y|<\delta$ 时 $|f(x)-f(y)|<1$。考虑 $x_n \to 0^+$，则存在 $N$ 使得 $n,m > N$ 时 $|x_n - x_m| < \delta$，从而 $|f(x_n)-f(x_m)|<1$，故 $\{f(x_n)\}$ 是柯西列，极限存在。同理可证 $x \to 1^-$ 时极限存在。
公式：$\lim_{x \to 0^+} f(x)$ 和 $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 存在且有限
提示：注意：极限存在且有限是必要条件，若极限为无穷大则不一致连续。
步骤 4/5
目标：推导充要条件的充分性：端点极限存在蕴含一致连续
设 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = A$，$\lim_{x \to 1^-} f(x) = B$ 均有限。定义 $F(x) = \begin{cases} A, & x=0 \\ f(x), & 0
公式：$F(x) = \begin{cases} \lim_{x\to 0^+} f(x), & x=0 \\ f(x), & 0
提示：闭区间上连续函数的一致连续性（康托尔定理）是关键工具。
步骤 5/5
目标：总结充要条件并给出最终答案
综合以上，$f$ 在 $(0,1)$ 上一致连续的充要条件是：$\lim_{x \to 0^+} f(x)$ 和 $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 都存在且为有限实数。
公式：$\lim_{x \to 0^+} f(x) \in \mathbb{R}$ 且 $\lim_{x \to 1^-} f(x) \in \mathbb{R}$
提示：若区间端点之一为无穷，则需考虑无穷远处的极限，但本题为有限开区间。
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