电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数的结构，猜测极限形式
当 $n$ 很大时，$(1+\frac{x}{n})^n$ 趋近于 $e^x$，因此被积函数 $\frac{1}{1+(1+\frac{x}{n})^n}$ 逐点趋近于 $\frac{1}{1+e^x}$。直观上，极限可能等于 $\int_0^1 \frac{1}{1+e^x} dx$。
公式：$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x$
提示：注意这是经典极限，但需要严格验证积分与极限交换的条件。
步骤 2/5
目标：构造控制函数，应用控制收敛定理
对于 $0\le x\le 1$，有 $1+\frac{x}{n}\ge 1$，所以 $(1+\frac{x}{n})^n\ge 1$，分母 $1+(1+\frac{x}{n})^n\ge 2$，因此被积函数 $\frac{1}{1+(1+\frac{x}{n})^n}\le \frac12$。常数函数 $\frac12$ 在 $[0,1]$ 上可积，由勒贝格控制收敛定理，极限与积分可交换。
公式：$0\le \frac{1}{1+(1+\frac{x}{n})^n}\le \frac12$
提示：控制函数必须与 $n$ 无关且可积，这里 $\frac12$ 满足条件。
步骤 3/5
目标：计算逐点极限并交换积分次序
对每个固定的 $x\in[0,1]$，$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+(1+\frac{x}{n})^n}=\frac{1}{1+e^x}$。由控制收敛定理，$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 \frac{1}{1+(1+\frac{x}{n})^n}dx = \int_0^1 \frac{1}{1+e^x}dx$。
公式：$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)dx = \int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x)dx$
提示：控制收敛定理是交换极限与积分的关键。
步骤 4/5
目标：计算定积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+e^x}dx$
令 $t=e^x$，则 $x=\ln t$，$dx=\frac{1}{t}dt$，积分限 $x=0\to t=1$，$x=1\to t=e$。积分化为 $\int_1^e \frac{1}{1+t}\cdot\frac{1}{t}dt = \int_1^e \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}\right)dt$。
公式：$\int_0^1 \frac{1}{1+e^x}dx = \int_1^e \frac{1}{t(1+t)}dt$
提示：换元时注意微分和积分限的对应。
步骤 5/5
目标：完成积分计算并化简结果
计算 $\int_1^e \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}\right)dt = [\ln t - \ln(1+t)]_1^e = (1-\ln(1+e)) - (0-\ln2) = 1 - \ln(1+e) + \ln2 = 1 + \ln\frac{2}{1+e}$。进一步化简为 $\ln e + \ln\frac{2}{1+e} = \ln\frac{2e}{1+e}$。
公式：$1 + \ln\frac{2}{1+e} = \ln\frac{2e}{1+e}$
提示：注意 $\ln e = 1$，合并对数时需确保真数大于0。
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