电子科技大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
5．已知 $\left\{\begin{array}{l}x=e^{-t} ; \\ y=\int_{0}^{t} \ln \left(1+\tau^{2}\right) \mathrm{d} \tau \text { ．}\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出参数方程并明确目标
已知参数方程：
\[\begin{cases} x = e^{-t}, \\ y = \int_0^t \ln(1+\tau^2)\,d\tau \end{cases}\]
要求计算 \[\left.\frac{d^2 y}{dx^2}\right|_{t=0}\]
公式：参数方程形式：\(x=x(t), y=y(t)\)
提示：注意区分自变量和参数，二阶导是对\(x\)求导，不是对\(t\)。
步骤 2/4
目标：求一阶导数 \(\frac{dy}{dx}\)
由参数方程求导公式：
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\]
计算：
\[\frac{dx}{dt} = -e^{-t},\quad \frac{dy}{dt} = \ln(1+t^2)\]
所以
\[\frac{dy}{dx} = \frac{\ln(1+t^2)}{-e^{-t}} = -e^{t}\ln(1+t^2)\]
公式：\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\]
提示：注意\(\frac{dy}{dt}\)是积分上限函数的导数，直接代入上限即可。
步骤 3/4
目标：求二阶导数 \(\frac{d^2 y}{dx^2}\) 的表达式
二阶导数公式：
\[\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \Big/ \frac{dx}{dt}\]
先对\(\frac{dy}{dx} = -e^{t}\ln(1+t^2)\)关于\(t\)求导（使用乘积法则）：
\[\frac{d}{dt}\left(-e^{t}\ln(1+t^2)\right) = -\left[e^{t}\ln(1+t^2) + e^{t}\cdot\frac{2t}{1+t^2}\right] = -e^{t}\left(\ln(1+t^2) + \frac{2t}{1+t^2}\right)\]
再除以\(\frac{dx}{dt} = -e^{-t}\)：
\[\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-e^{t}\left(\ln(1+t^2) + \frac{2t}{1+t^2}\right)}{-e^{-t}} = e^{t}\cdot e^{t}\left(\ln(1+t^2) + \frac{2t}{1+t^2}\right) = e^{2t}\left(\ln(1+t^2) + \frac{2t}{1+t^2}\right)\]
公式：\[\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \Big/ \frac{dx}{dt}\]
提示：注意除法时\(\frac{dx}{dt}\)是负数，不要弄错符号。
步骤 4/4
目标：代入 \(t=0\) 求值
当\(t=0\)时：
\[\ln(1+0^2) = \ln 1 = 0,\quad \frac{2\cdot 0}{1+0^2} = 0,\quad e^{2\cdot 0} = 1\]
因此：
\[\left.\frac{d^2 y}{dx^2}\right|_{t=0} = 1 \times (0 + 0) = 0\]
公式：代入化简
提示：注意\(\ln(1+t^2)\)在\(t=0\)处为0，且分子中的\(2t\)也为0，结果自然为0。
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