电子科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将和式表示为求和符号形式
原式共有 \(n\) 项，从 \(\frac{1}{n+1}\) 到 \(\frac{1}{2n}\)，可写为：
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \]
公式：S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}
提示：注意项数：从 \(k=1\) 到 \(n\) 对应分母 \(n+1\) 到 \(2n\)，共 \(n\) 项。
步骤 2/4
目标：提取公因子 \(\frac{1}{n}\)，化为黎曼和形式
将每一项分母提取 \(n\)：
\[ \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n\left(1+\frac{k}{n}\right)} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}} \]
于是
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}} \]
公式：S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}
提示：这是将和式转化为定积分的关键步骤，注意 \(\frac{k}{n}\) 的出现。
步骤 3/4
目标：取极限转化为定积分
当 \(n \to \infty\) 时，\(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\) 的极限是 \(\int_0^1 f(x) \, dx\)，其中 \(f(x) = \frac{1}{1+x}\)，且取右端点。因此：
\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx \]
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx
提示：确认积分区间：\(\frac{k}{n}\) 从 \(\frac{1}{n}\) 到 \(1\)，当 \(n \to \infty\) 时覆盖 \([0,1]\)。
步骤 4/4
目标：计算定积分
计算积分：
\[ \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \left[ \ln(1+x) \right]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \]
公式：\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \ln 2
提示：注意 \(\ln 1 = 0\)，结果简洁为 \(\ln 2\)。
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