📝 电子科技大学 2023年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

2． $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{x^{-2}}$ $\_\_\_\_$ ．

3． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\int_{\cos x}^{1} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t}$ $\_\_\_\_$ ．

4．曲面 $z-e^{z}-x y+3=0$ 在点 $(2,1,0)$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．

5．设 $u=e^{x}+\sin y+t, x=s t, y=s+t$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=$ $\_\_\_\_$ ．

6．$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \in[-\pi, 0) ; \\ 0, & x \in[0, \pi) .\end{array}\right.$ 的 Fourier 级数的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

1．求使得不等式 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\alpha}>e$ 对所有正整数 $n$ 都成立的最小的数 $\alpha$ ．

2．设 $z=z(x, y)$ 是由方程

$$
2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0
$$

确定的二元函数，求 $z=z(x, y)$ 的极值点与极值．

3．求三重积分

$$
I=\iiint_{\Omega} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$

其中 $\Omega$ 是由雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的有界区域。

4．设 $\Gamma$ 是以 $(1,0)$ 为中心，$r$ 为半径的圆周 $(r \neq 1)$ ，取逆时针方向为正向．求第二型曲线积分

$$
I=\oint_{\Gamma} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}
$$

5．求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{2}-x}{\ln x} \mathrm{~d} x$ ．

1．设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导，且存在 $c \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(c)=0$ ．证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)-f(\xi)+f(a)=0$ ．

2．设函数 $f \in C^{1}[0,+\infty), f(0)>0$ 且 $f^{\prime}(x) \geq 0, x \in[0,+\infty)$ ．证明：若反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x$收玫，则反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 也收敛．

3．若 $p>1$ ，证明：数项级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin \left(2 \pi \sqrt{n^{2}+1}\right)}{(\ln n)^{p}}$ 收敛．

4．设函数 $g \in C[a, b], f$ 在 $g$ 的值域上有定义．证明：若 $f \circ g \in C[a, b]$ ，则 $f$ 在 $g$ 的值域上连续．

1．设函数 $f \in C^{2}[0,1], f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ 且 $0<f(x)<x, x \in(0,1)$ ．令

$$
a_{1} \in(0,1), a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)(n=1,2, \cdots)
$$

（1）证明：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ；
（2）试问数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 是否一定收玫？若不一定收玫，请举出反例；若收玫，求其极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ ．

2．设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 1 ，左极限 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．证明：数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 。举例说明：仅由 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 1 及左极限 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 存在不能断言数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收玫。