电子科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．求使得不等式 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\alpha}>e$ 对所有正整数 $n$ 都成立的最小的数 $\alpha$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将不等式转化为关于α的形式
对原不等式 \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\alpha}>e\) 两边取自然对数（对数函数单调递增），得到 \((n+\alpha)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)>1\)。移项得 \(\alpha > \frac{1}{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}-n\)。记 \(f(n)=\frac{1}{\ln(1+1/n)}-n\)，则原不等式等价于对所有正整数 \(n\) 有 \(\alpha > f(n)\)。因此，最小的 \(\alpha\) 应为 \(f(n)\) 的上确界：\(\alpha_{\min}=\sup_{n\in\mathbb{N}^+} f(n)\)。
公式：\alpha > \frac{1}{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}-n
提示：注意取对数时不等式方向不变，因为 \(\ln x\) 是增函数。
步骤 2/5
目标：将离散变量转化为连续函数
令 \(x=\frac{1}{n}\)，则当 \(n\) 为正整数时，\(x\) 取值为 \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\)，趋于0。代入 \(f(n)\) 得 \(f(n)=\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}\)。定义函数 \(g(x)=\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}\)，其中 \(0
公式：g(x)=\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}
提示：将 \(n\) 替换为 \(1/x\) 时，注意 \(x\) 的取值范围。
步骤 3/5
目标：分析g(x)在x→0+时的渐近行为
对 \(\ln(1+x)\) 进行泰勒展开：\(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots\)。于是 \(\frac{1}{\ln(1+x)}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1-x/2+x^2/3-\cdots}=\frac{1}{x}\left(1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{12}+\cdots\right)\)。代入 \(g(x)\) 得 \(g(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}-\frac{x}{12}+\cdots\right)-\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{x}{12}+O(x^2)\)。因此当 \(x\to 0^+\) 时，\(g(x)\to \frac{1}{2}\)，且略小于 \(\frac{1}{2}\)（因为 \(-x/12\) 项为负）。
公式：g(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{12}+O(x^2)
提示：渐近展开表明上确界可能是极限值 \(1/2\)，但需验证离散点是否都小于该值。
步骤 4/5
目标：计算离散点处的g(x)值并比较
计算几个关键点：
- \(x=1\)（\(n=1\)）：\(\ln2\approx0.693147\)，\(g(1)=\frac{1}{\ln2}-1\approx1.442695-1=0.442695\)。
- \(x=1/2\)（\(n=2\)）：\(\ln1.5\approx0.405465\)，\(g(1/2)=\frac{1}{0.405465}-2\approx2.4663-2=0.4663\)。
- \(x=1/3\)（\(n=3\)）：\(\ln(4/3)\approx0.287682\)，\(g(1/3)=\frac{1}{0.287682}-3\approx3.476-3=0.476\)。
- \(x=1/4\)（\(n=4\)）：\(\ln1.25\approx0.223144\)，\(g(1/4)\approx4.4814-4=0.4814\)。
- \(x=1/5\)（\(n=5\)）：\(\ln1.2\approx0.182322\)，\(g(1/5)\approx5.485-5=0.485\)。
可见 \(g(x)\) 随 \(x\) 减小（\(n\) 增大）而递增，并趋近于 \(0.5\)，但始终小于 \(0.5\)。
公式：g(1)=\frac{1}{\ln2}-1\approx0.4427,\quad g(1/2)\approx0.4663,\quad g(1/3)\approx0.476
提示：计算时注意对数精度，可保留足够小数位以比较大小。
步骤 5/5
目标：确定最小的α并验证
由于对所有正整数 \(n\)，\(f(n)<\frac{1}{2}\)，且 \(\lim_{n\to\infty}f(n)=\frac{1}{2}\)，因此 \(f(n)\) 的上确界为 \(\frac{1}{2}\)。取 \(\alpha=\frac{1}{2}\)，则对任意有限正整数 \(n\)，有 \(\alpha > f(n)\)，即原不等式严格成立（因为 \(f(n)<1/2\)）。若取 \(\alpha<\frac{1}{2}\)，则当 \(n\) 充分大时，\(f(n)\) 会大于 \(\alpha\)，不等式不成立。因此最小的 \(\alpha\) 为 \(\frac{1}{2}\)。
公式：\alpha_{\min}=\frac{1}{2}
提示：注意 \(n\to\infty\) 时极限等于 \(e\)，但题目要求对所有正整数 \(n\) 严格大于 \(e\)，因此 \(\alpha=1/2\) 可行。
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