电子科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
5．设 $u=e^{x}+\sin y+t, x=s t, y=s+t$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数关系与求导目标
已知 $u = e^x + \sin y + t$，其中 $x = s t$，$y = s + t$。需要求 $\frac{\partial u}{\partial t}$，注意 $u$ 通过 $x$、$y$ 以及显式项 $t$ 依赖于 $t$。
公式：$u = e^x + \sin y + t$，$x = s t$，$y = s + t$
提示：注意区分显式依赖和隐式依赖，$u$ 中最后一项 $t$ 是直接出现的。
步骤 2/5
目标：写出链式法则公式
根据多元复合函数求导法则，$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} + \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{\text{显式}}$。
公式：$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} + \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{\text{显式}}$
提示：不要遗漏显式项 $t$ 的导数，这是常见错误。
步骤 3/5
目标：计算各个偏导数
先求 $u$ 对中间变量的偏导：$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x$，$\frac{\partial u}{\partial y} = \cos y$，显式偏导 $\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{\text{显式}} = 1$。再求 $x$ 和 $y$ 对 $t$ 的偏导（$s$ 视为常数）：$\frac{\partial x}{\partial t} = s$，$\frac{\partial y}{\partial t} = 1$。
公式：$\frac{\partial u}{\partial x}=e^x,\ \frac{\partial u}{\partial y}=\cos y,\ \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{\text{显式}}=1,\ \frac{\partial x}{\partial t}=s,\ \frac{\partial y}{\partial t}=1$
提示：求 $\frac{\partial x}{\partial t}$ 时，$s$ 是常数，不要误写成 $s$ 的导数。
步骤 4/5
目标：代入链式法则
将上述偏导数代入公式：$\frac{\partial u}{\partial t} = e^x \cdot s + \cos y \cdot 1 + 1$。
公式：$\frac{\partial u}{\partial t} = s e^x + \cos y + 1$
提示：代入时注意符号和顺序，不要漏项。
步骤 5/5
目标：将中间变量回代
将 $x = s t$ 和 $y = s + t$ 代入表达式：$\frac{\partial u}{\partial t} = s e^{s t} + \cos(s + t) + 1$。
公式：$\frac{\partial u}{\partial t} = s e^{s t} + \cos(s + t) + 1$
提示：最终结果中 $s$ 和 $t$ 是独立变量，不需要进一步化简。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。