电子科技大学 2023年数学分析第0题

已知函数 $f \in C^1[0,+\infty)$，$f(0)>0$，且 $f'(x) \geq 0$ 对所有 $x \geq 0$ 成立，因此 $f(x)$ 单调不减且恒正。已知反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f'(x)} \mathrm{d}x$ 收敛，需要证明 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d}x$ 也收敛。

考虑恒等式： \[ \frac{1}{f(x)} = \frac{f(x)+f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))} = \frac{1}{f(x)+f'(x)} + \frac{f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))}. \] 两边在区间 $[0,A]$ 上积分，得： \[ \int_0^A \frac{1}{f(x)} \mathrm{d}x = \int_0^A \frac{1}{f(x)+f'(x)} \mathrm{d}x + \int_0^A \frac{f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))} \mathrm{d}x. \]

由已知条件，反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f'(x)} \mathrm{d}x$ 收敛，因此当 $A \to +\infty$ 时，第一项 $\int_0^A \frac{1}{f(x)+f'(x)} \mathrm{d}x$ 趋于有限值。

由于 $f(x)+f'(x) \geq f(x)$，有： \[ \frac{f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))} \leq \frac{f'(x)}{f(x) \cdot f(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)^2}. \] 而 $\int_0^{+\infty} \frac{f'(x)}{f(x)^2} \mathrm{d}x = \left[ -\frac{1}{f(x)} \right]_0^{+\infty} = \frac{1}{f(0)} - \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{f(x)}$。由于 $f(x)$ 单调递增且为正，$\lim_{x\to+\infty} f(x)$ 存在（可能为 $+\infty$），因此 $\frac{1}{f(x)}$ 递减有下界 $0$，极限存在，故该积分收敛。由比较判别法（被积函数非负），第二项积分也收敛。

由第二步的分解，$\int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d}x$ 等于两个收敛积分之和，因此该反常积分也收敛。证毕。