电子科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $z=z(x, y)$ 是由方程
$$
2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0
$$
确定的二元函数，求 $z=z(x, y)$ 的极值点与极值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：整理并配方原方程
原方程为：
$$2x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-2x-2y-4z+4=0$$
先对 $x,y$ 部分配方：
$$2x^2 + 2xy - 2x = 2\left[x^2 + x(y-1)\right] = 2\left[\left(x+\frac{y-1}{2}\right)^2 - \frac{(y-1)^2}{4}\right] = 2\left(x+\frac{y-1}{2}\right)^2 - \frac{(y-1)^2}{2}$$
加上 $y^2 - 2y$ 得：
$$2\left(x+\frac{y-1}{2}\right)^2 - \frac{(y-1)^2}{2} + y^2 - 2y = 2\left(x+\frac{y-1}{2}\right)^2 + \frac{(y-1)^2}{2} - 1$$
再考虑 $z^2 - 4z + 4 = (z-2)^2$，原方程化为：
$$2\left(x+\frac{y-1}{2}\right)^2 + \frac{(y-1)^2}{2} + (z-2)^2 = 1$$
公式：2\left(x+\frac{y-1}{2}\right)^2 + \frac{(y-1)^2}{2} + (z-2)^2 = 1
提示：配方时注意系数，将二次项和一次项合并成完全平方形式，可简化后续分析。
步骤 2/5
目标：利用隐函数求导求驻点条件
设 $F(x,y,z)=2x^2+y^2+z^2+2xy-2x-2y-4z+4$，则：
$$F_x = 4x + 2y - 2, \quad F_y = 2y + 2x - 2, \quad F_z = 2z - 4$$
由隐函数求导公式，$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$。极值必要条件为 $\frac{\partial z}{\partial x}=0$ 且 $\frac{\partial z}{\partial y}=0$，即 $F_x=0$ 且 $F_y=0$：
$$4x + 2y - 2 = 0 \Rightarrow 2x + y = 1$$
$$2y + 2x - 2 = 0 \Rightarrow x + y = 1$$
解方程组得 $x=0, y=1$。
公式：\begin{cases} 2x + y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases} \Rightarrow (x,y)=(0,1)
提示：注意隐函数存在条件 $F_z \neq 0$，此处需在后续验证。
步骤 3/5
目标：求驻点对应的 z 值
将 $x=0, y=1$ 代入原方程：
$$2\cdot0^2 + 1^2 + z^2 + 2\cdot0\cdot1 - 2\cdot0 - 2\cdot1 - 4z + 4 = 0$$
化简得：
$$1 + z^2 - 2 - 4z + 4 = z^2 - 4z + 3 = 0$$
解得 $z=1$ 或 $z=3$。因此有两个可能的极值点：$(0,1,1)$ 和 $(0,1,3)$。
公式：z^2 - 4z + 3 = 0 \Rightarrow z=1 \text{ 或 } z=3
提示：代入时注意各项符号，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：利用配方法判断极值性质
由配方后的方程：
$$2\left(x+\frac{y-1}{2}\right)^2 + \frac{(y-1)^2}{2} + (z-2)^2 = 1$$
这是一个椭球面方程，中心在 $(0,1,2)$。对于固定的 $(x,y)$，$z$ 满足 $(z-2)^2 = 1 - 2\left(x+\frac{y-1}{2}\right)^2 - \frac{(y-1)^2}{2}$，因此 $z$ 的取值范围为 $[2-1, 2+1] = [1,3]$。
在 $(x,y)=(0,1)$ 处，左边前两项均为0，此时 $(z-2)^2=1$，$z$ 取到边界值 $1$ 和 $3$。
- 当 $z=1$ 时，$z$ 达到最小值；
- 当 $z=3$ 时，$z$ 达到最大值。
因此 $(0,1)$ 是极值点，极小值 $z=1$，极大值 $z=3$。
公式：(z-2)^2 = 1 - 2\left(x+\frac{y-1}{2}\right)^2 - \frac{(y-1)^2}{2} \leq 1
提示：配方法直接揭示了曲面的几何形状，比二阶偏导判别更直观。注意 $F_z$ 在极值点处不为0（$z=1$ 时 $F_z=-2$，$z=3$ 时 $F_z=2$），隐函数存在条件满足。
步骤 5/5
目标：总结极值点与极值
综合以上步骤，函数 $z=z(x,y)$ 的极值点为 $(x,y)=(0,1)$，对应的极值为：
- 极小值 $z=1$（在点 $(0,1,1)$ 处取得）
- 极大值 $z=3$（在点 $(0,1,3)$ 处取得）
公式：\text{极值点: }(0,1), \quad \text{极小值: }1, \quad \text{极大值: }3
提示：注意隐函数确定的 $z$ 可能有两个分支，分别对应极大和极小。
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