电子科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．求三重积分
$$
I=\iiint_{\Omega} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
其中 $\Omega$ 是由雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的有界区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解区域形状并确定积分范围
两个曲面分别为锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 和旋转抛物面 $z = x^2 + y^2$。令 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，则锥面为 $z = r$，抛物面为 $z = r^2$。比较 $r$ 与 $r^2$：当 $0 < r < 1$ 时，$r^2 < r$，因此抛物面在下，锥面在上。区域 $\Omega$ 可描述为：$0 \le \theta \le 2\pi$，$0 \le r \le 1$，$r^2 \le z \le r$。
公式：$\Omega = \{ (r,\theta,z) \mid 0 \le \theta \le 2\pi,\, 0 \le r \le 1,\, r^2 \le z \le r \}$
提示：注意判断两个曲面的上下位置，可通过代入小 $r$ 值比较 $z$ 的大小。
步骤 2/6
目标：选择柱坐标系并写出积分表达式
由于被积函数和区域具有旋转对称性，采用柱坐标：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，体积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z$。被积函数 $x^2\sqrt{x^2+y^2} = (r^2\cos^2\theta)\cdot r = r^3\cos^2\theta$。乘以体积元中的 $r$ 后，被积函数变为 $r^4\cos^2\theta$。三重积分化为：
公式：$I = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \int_{z=r^2}^{r} r^4 \cos^2\theta \,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$
提示：不要漏掉柱坐标的雅可比因子 $r$，并正确代入被积函数。
步骤 3/6
目标：对 $z$ 积分
先对 $z$ 积分，$\int_{z=r^2}^{r} \mathrm{d}z = r - r^2$，积分结果与 $\theta$ 和 $r$ 分离：
公式：$I = \int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \,\mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} r^4 (r - r^2) \,\mathrm{d}r$
提示：注意 $z$ 的积分限是 $r^2$ 到 $r$，不要颠倒。
步骤 4/6
目标：计算角度部分的积分
利用倍角公式 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$，则 $\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \,\mathrm{d}\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1+\cos 2\theta}{2} \,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{2\pi} = \pi$。
公式：$\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \,\mathrm{d}\theta = \pi$
提示：注意 $\cos 2\theta$ 在一个周期内积分为零。
步骤 5/6
目标：计算径向部分的积分
化简被积函数：$r^4(r - r^2) = r^5 - r^6$。积分得：$\int_{0}^{1} (r^5 - r^6) \,\mathrm{d}r = \left[ \frac{r^6}{6} - \frac{r^7}{7} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{42}$。
公式：$\int_{0}^{1} (r^5 - r^6) \,\mathrm{d}r = \frac{1}{42}$
提示：计算定积分时注意代入上下限并化简分数。
步骤 6/6
目标：相乘得到最终结果
将角度部分和径向部分的结果相乘：$I = \pi \cdot \frac{1}{42} = \frac{\pi}{42}$。
公式：$I = \frac{\pi}{42}$
提示：最终结果应化简为最简分数形式。
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