电子科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4．设 $\Gamma$ 是以 $(1,0)$ 为中心，$r$ 为半径的圆周 $(r \neq 1)$ ，取逆时针方向为正向．求第二型曲线积分
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I=\oint_{\Gamma} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别被积函数与曲线，判断是否可直接使用格林公式
给定第二型曲线积分 \( I = \oint_{\Gamma} \frac{-y \, dx + x \, dy}{4x^2 + y^2} \)，其中 \(\Gamma\) 是以 \((1,0)\) 为圆心、半径 \(r \neq 1\) 的逆时针圆周。令 \( P = \frac{-y}{4x^2 + y^2}, Q = \frac{x}{4x^2 + y^2} \)。格林公式要求 \(P, Q\) 在 \(\Gamma\) 所围区域 \(D\) 内连续可微。由于分母 \(4x^2 + y^2 = 0\) 仅在原点 \((0,0)\) 处为零，因此原点是被积函数的奇点。需要根据圆周是否包含原点来分类讨论。
公式：格林公式：\( \oint_{\Gamma} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy \)
提示：注意分母为零的点是奇点，格林公式要求区域内无奇点，因此必须先判断奇点是否在区域内。
步骤 2/6
目标：计算旋度，验证除原点外旋度为零
计算偏导数：
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{4x^2 + y^2} \right) = \frac{1}{4x^2 + y^2} - \frac{8x^2}{(4x^2 + y^2)^2} \]
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{-y}{4x^2 + y^2} \right) = -\frac{1}{4x^2 + y^2} + \frac{2y^2}{(4x^2 + y^2)^2} \]
于是
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \left( \frac{1}{4x^2 + y^2} - \frac{8x^2}{(4x^2 + y^2)^2} \right) - \left( -\frac{1}{4x^2 + y^2} + \frac{2y^2}{(4x^2 + y^2)^2} \right) \]
\[ = \frac{2}{4x^2 + y^2} - \frac{8x^2 + 2y^2}{(4x^2 + y^2)^2} = \frac{2}{4x^2 + y^2} - \frac{2(4x^2 + y^2)}{(4x^2 + y^2)^2} = 0 \]
因此，在除原点外的所有点，旋度为零。
公式：旋度公式：\( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \)
提示：计算偏导数时注意使用商的求导法则或复合函数求导，并仔细合并同类项，避免符号错误。
步骤 3/6
目标：分类讨论：当半径 r < 1 时，圆周不包含原点
若 \(r < 1\)，则圆周 \(\Gamma\) 所围成的圆盘完全位于 \(x>0\) 的半平面内，原点 \((0,0)\) 不在该区域内。因此，在 \(\Gamma\) 所围的闭区域上，\(P, Q\) 连续可微且旋度恒为零。由格林公式，曲线积分 \(I = 0\)。
公式：格林公式直接应用：\( \iint_D 0 \, dx\,dy = 0 \)
提示：当区域内无奇点时，格林公式可直接使用，积分值为零。
步骤 4/6
目标：分类讨论：当半径 r > 1 时，圆周包含原点，需挖掉奇点
若 \(r > 1\)，原点 \((0,0)\) 位于 \(\Gamma\) 内部，不能直接使用格林公式。考虑作一条辅助闭曲线 \(\gamma_\varepsilon\) 为椭圆 \(4x^2 + y^2 = \varepsilon^2\)（取逆时针方向），其中 \(\varepsilon\) 充分小使得 \(\gamma_\varepsilon\) 完全位于 \(\Gamma\) 内部。在 \(\Gamma\) 与 \(\gamma_\varepsilon\) 所围成的环形区域上，无奇点且旋度为零，由格林公式（内外边界方向相反）得：
\[ \oint_{\Gamma} - \oint_{\gamma_\varepsilon} = 0 \quad \Rightarrow \quad \oint_{\Gamma} = \oint_{\gamma_\varepsilon} \]
公式：复连通区域格林公式：\( \oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy = \oint_{\gamma_\varepsilon} P\,dx+Q\,dy \)（方向均为逆时针）
提示：挖掉奇点时，辅助曲线方向应与原曲线方向一致（逆时针），这样环形区域的外边界为逆时针，内边界为顺时针，格林公式中内边界取负号。
步骤 5/6
目标：计算小椭圆上的积分
在椭圆 \(\gamma_\varepsilon: 4x^2 + y^2 = \varepsilon^2\) 上，分母为常数 \(\varepsilon^2\)，因此
\[ \oint_{\gamma_\varepsilon} \frac{-y\,dx + x\,dy}{4x^2 + y^2} = \frac{1}{\varepsilon^2} \oint_{\gamma_\varepsilon} (-y\,dx + x\,dy) \]
由格林公式，\(\oint_{\gamma_\varepsilon} -y\,dx + x\,dy = \iint_{E} \left( \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right) dx\,dy = \iint_{E} (1 - (-1)) \,dx\,dy = 2 \cdot \text{Area}(E) \)，其中 \(E\) 为椭圆 \(4x^2 + y^2 \leq \varepsilon^2\) 的内部。椭圆面积公式：\(\frac{x^2}{(\varepsilon/2)^2} + \frac{y^2}{\varepsilon^2} = 1\)，半长轴 \(a = \varepsilon/2\)，半短轴 \(b = \varepsilon\)，面积 \(= \pi a b = \pi \cdot \frac{\varepsilon}{2} \cdot \varepsilon = \frac{\pi \varepsilon^2}{2}\)。因此
\[ \oint_{\gamma_\varepsilon} -y\,dx + x\,dy = 2 \cdot \frac{\pi \varepsilon^2}{2} = \pi \varepsilon^2 \]
代入得
\[ \oint_{\gamma_\varepsilon} \frac{-y\,dx + x\,dy}{4x^2 + y^2} = \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot \pi \varepsilon^2 = \pi \]
公式：格林公式计算 \(\oint -y\,dx + x\,dy = 2 \times \text{面积}\)；椭圆面积 \(\pi a b\)
提示：注意椭圆方程标准化：\(4x^2 + y^2 = \varepsilon^2\) 化为 \(\frac{x^2}{(\varepsilon/2)^2} + \frac{y^2}{\varepsilon^2} = 1\)，面积计算不要弄错半轴。
步骤 6/6
目标：总结最终结果
综合以上讨论：
- 当 \(r < 1\) 时，圆周不包含原点，积分 \(I = 0\)；
- 当 \(r > 1\) 时，圆周包含原点，积分 \(I = \pi\)。
题目已给定 \(r \neq 1\)，故无需考虑 \(r = 1\) 的情况。
公式：最终答案：\( I = \begin{cases} 0, & r < 1 \\ \pi, & r > 1 \end{cases} \)
提示：注意分类讨论的边界条件，r=1时圆周经过原点，积分发散，题目已排除此情况。
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