电子科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．设函数 $f \in C^{2}[0,1], f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ 且 $0<f(x)<x, x \in(0,1)$ ．令
$$
a_{1} \in(0,1), a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)(n=1,2, \cdots)
$$
（1）证明：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ；
（2）试问数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 是否一定收玫？若不一定收玫，请举出反例；若收玫，求其极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明数列 {a_n} 单调有界，从而收敛
由条件 $0 < f(x) < x$ 对任意 $x \in (0,1)$ 成立，代入 $x = a_n$ 得 $0 < a_{n+1} = f(a_n) < a_n$，因此数列严格递减且有下界 $0$，故收敛。设极限为 $L$，由递推和 $f$ 的连续性得 $L = f(L)$。
公式：$0 < a_{n+1} < a_n$，$L = f(L)$
提示：注意利用 $f$ 的连续性取极限，且下界为0是显然的。
步骤 2/6
目标：确定极限值 L = 0
若 $L > 0$，则由条件 $0 < f(x) < x$ 得 $f(L) < L$，与 $L = f(L)$ 矛盾。故 $L = 0$，即 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
公式：$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
提示：利用反证法，结合 $f(x) < x$ 在 $(0,1)$ 上的严格性。
步骤 3/6
目标：对 f(x) 在 x=0 处进行泰勒展开
由 $f \in C^2[0,1]$ 且 $f(0)=0$（由 $0
公式：$a_{n+1} = a_n + c a_n^2 + o(a_n^2)$，其中 $c = \frac{f''(0)}{2}$
提示：注意 $f(0)=0$ 的推导：若 $f(0)>0$，则存在 $x$ 使 $f(x)>x$ 矛盾。
步骤 4/6
目标：引入倒数变换，分析渐近行为
令 $b_n = \frac{1}{a_n}$，则 $b_{n+1} = \frac{1}{a_n + c a_n^2 + o(a_n^2)} = \frac{1}{a_n} \cdot \frac{1}{1 + c a_n + o(a_n)}$。利用展开 $\frac{1}{1+u} = 1 - u + O(u^2)$，得 $b_{n+1} = b_n (1 - c a_n + o(a_n)) = b_n - c + o(1)$，其中 $o(1) \to 0$。因此 $b_{n+1} - b_n \to -c$。
公式：$b_{n+1} - b_n \to -c$
提示：注意 $a_n \to 0$，故 $o(a_n)$ 和 $o(1)$ 的处理要严谨。
步骤 5/6
目标：利用Stolz定理求极限
由 $b_{n+1} - b_n \to -c$，根据Stolz定理（或等差数列近似），有 $\frac{b_n}{n} \to -c$，即 $\frac{1}{n a_n} \to -c$。因此 $n a_n \to -\frac{1}{c} = -\frac{2}{f''(0)}$。由于 $a_n > 0$，极限必须为正，故 $f''(0) < 0$，这与条件 $f(x) < x$ 一致。
公式：$\lim_{n \to \infty} n a_n = -\frac{2}{f''(0)}$
提示：Stolz定理适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，这里 $b_n \to \infty$，符合条件。
步骤 6/6
目标：总结收敛性结论
数列 $\{n a_n\}$ 一定收敛，极限为 $-\frac{2}{f''(0)}$。不存在反例，因为 $f''(0) \neq 0$ 且条件隐含 $f''(0) < 0$。
公式：极限存在且唯一
提示：注意 $f''(0) \neq 0$ 是题目条件，无需考虑 $f''(0)=0$ 的情况。
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