电子科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4．曲面 $z-e^{z}-x y+3=0$ 在点 $(2,1,0)$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造函数并求偏导数
令 $F(x, y, z) = z - e^{z} - xy + 3$，则曲面上每一点的法向量为梯度 $\nabla F$。分别对 $x, y, z$ 求偏导：
$F_x = -y$，
$F_y = -x$，
$F_z = 1 - e^{z}$。
公式：$F(x, y, z) = z - e^{z} - xy + 3$
提示：注意隐函数形式，法向量直接由梯度给出，无需显化 $z$。
步骤 2/3
目标：代入给定点求法向量
将点 $(2,1,0)$ 代入偏导数：
$F_x(2,1,0) = -1$，
$F_y(2,1,0) = -2$，
$F_z(2,1,0) = 1 - e^{0} = 0$。
因此法向量为 $\vec{n} = (-1, -2, 0)$，可同乘 $-1$ 得方向 $(1, 2, 0)$。
公式：$\vec{n} = (F_x, F_y, F_z)\big|_{(2,1,0)} = (-1, -2, 0)$
提示：代入时注意 $e^0=1$，$F_z$ 为0表示法向量在 $z$ 方向分量为0。
步骤 3/3
目标：写出法线方程
法线过点 $(2,1,0)$，方向向量取 $(1,2,0)$，则对称式方程为：
$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 0}{0}$。
分母为0表示 $z$ 方向不变，即 $z = 0$。因此法线方程为：
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{2}$，且 $z = 0$。
公式：$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{2}, \quad z = 0$
提示：当法向量某分量为0时，对应变量为常数，不要遗漏 $z=0$ 的条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。