电子科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2． $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{x^{-2}}$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将幂指型极限转化为对数形式
设 $y = (\cos x)^{x^{-2}}$，则 $\ln y = x^{-2} \ln(\cos x) = \dfrac{\ln(\cos x)}{x^2}$。原极限 $\lim_{x \to 0} y = e^{\lim_{x \to 0} \ln y}$，因此只需计算 $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(\cos x)}{x^2}$。
公式：$\ln y = \dfrac{\ln(\cos x)}{x^2}$
提示：注意幂指型极限通常取对数处理，但需确保底数大于0，此处 $\cos x$ 在 $x=0$ 附近为正。
步骤 2/5
目标：展开 $\cos x$ 的泰勒级数
当 $x \to 0$ 时，$\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4)$。
公式：$\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4)$
提示：展开到 $x^4$ 项即可，因为分母是 $x^2$，后续需要 $x^4$ 项来精确计算对数展开。
步骤 3/5
目标：展开 $\ln(\cos x)$ 的泰勒级数
令 $u = -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4)$，则 $\ln(\cos x) = \ln(1+u) = u - \dfrac{u^2}{2} + o(u^2)$。计算：$u = -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + o(x^4)$，$u^2 = \dfrac{x^4}{4} + o(x^4)$。代入得：$\ln(\cos x) = \left(-\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right) - \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^4}{4} + o(x^4) = -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^4}{8} + o(x^4) = -\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{12} + o(x^4)$。
公式：$\ln(\cos x) = -\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{12} + o(x^4)$
提示：注意 $\ln(1+u)$ 展开时，$u^2$ 项不可忽略，因为 $u$ 的最低阶是 $x^2$，$u^2$ 贡献 $x^4$ 项。
步骤 4/5
目标：计算 $\dfrac{\ln(\cos x)}{x^2}$ 的极限
将展开式代入：$\dfrac{\ln(\cos x)}{x^2} = \dfrac{-\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{12} + o(x^4)}{x^2} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{x^2}{12} + o(x^2)$。当 $x \to 0$ 时，后两项趋于0，故 $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(\cos x)}{x^2} = -\dfrac{1}{2}$。
公式：$\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(\cos x)}{x^2} = -\dfrac{1}{2}$
提示：注意 $o(x^4)/x^2 = o(x^2) \to 0$，不要遗漏高阶无穷小。
步骤 5/5
目标：还原原极限并得出答案
由 $\lim_{x \to 0} \ln y = -\dfrac{1}{2}$，得 $\lim_{x \to 0} y = e^{-1/2}$。
公式：$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{x^{-2}} = e^{-\frac{1}{2}}$
提示：最后一步取指数时，注意极限与指数运算交换顺序的合法性（指数函数连续）。
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