电子科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
6．$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \in[-\pi, 0) ; \\ 0, & x \in[0, \pi) .\end{array}\right.$ 的 Fourier 级数的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数定义与周期延拓
给定函数 $f(x)$ 在区间 $[-\pi, \pi)$ 上定义为：
$$f(x) = \begin{cases} x, & x \in [-\pi, 0) \\ 0, & x \in [0, \pi) \end{cases}$$
将其周期延拓到整个实数轴，周期为 $2\pi$，即 $f(x+2\pi)=f(x)$。
提示：注意区间是左闭右开，延拓时端点处需考虑左右极限。
步骤 2/5
目标：判断间断点并计算左右极限
在区间 $[-\pi, \pi)$ 内，可能的间断点为 $x=0$ 和 $x=-\pi$（以及周期端点 $x=\pi$）。
- 在 $x=0$ 处：左极限 $\lim_{x\to 0^-} f(x)=0$，右极限 $\lim_{x\to 0^+} f(x)=0$，连续。
- 在 $x=-\pi$ 处：右极限 $\lim_{x\to -\pi^+} f(x)=-\pi$；左极限由周期延拓，$x\to -\pi^-$ 相当于 $x\to \pi^-$，此时 $f(x)=0$，故左极限为 $0$。因此 $x=-\pi$ 是跳跃间断点。
- 由周期性，$x=\pi$ 处同样为跳跃间断点，左极限 $0$，右极限 $-\pi$。
提示：周期延拓后，间断点出现在 $x=(2k+1)\pi$ 处，$k\in\mathbb{Z}$。
步骤 3/5
目标：应用傅里叶级数和函数收敛定理
对于周期为 $2\pi$ 的函数，傅里叶级数的和函数 $S(x)$ 在连续点处等于 $f(x)$，在跳跃间断点处等于左右极限的平均值：
$$S(x)=\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$
公式：$$S(x)=\begin{cases} f(x), & \text{连续点} \\ \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}, & \text{跳跃间断点} \end{cases}$$
提示：注意左右极限需按周期延拓后的函数取值。
步骤 4/5
目标：写出和函数的具体表达式
对于一般 $x$，若 $x$ 不是 $\pi$ 的奇数倍，则 $S(x)=f(x)$，即：
$$S(x)=\begin{cases} x, & 2k\pi-\pi < x < 2k\pi \\ 0, & 2k\pi < x < 2k\pi+\pi \end{cases}$$
在 $x=(2k+1)\pi$ 处，左右极限平均值为 $\frac{0+(-\pi)}{2}=-\frac{\pi}{2}$，故
$$S((2k+1)\pi)=-\frac{\pi}{2}$$
公式：$$S(x)=\begin{cases} x, & -\pi+2k\pi < x < 2k\pi \\ 0, & 2k\pi < x < \pi+2k\pi \\ -\dfrac{\pi}{2}, & x=(2k+1)\pi \end{cases},\quad k\in\mathbb{Z}$$
提示：注意区间端点 $x=2k\pi$ 处函数连续，$S(2k\pi)=f(2k\pi)=0$。
步骤 5/5
目标：整理最终答案
将上述结果统一为分段形式，即得傅里叶级数的和函数：
$$S(x)=\begin{cases} x, & -\pi+2k\pi < x < 2k\pi \\ 0, & 2k\pi < x < \pi+2k\pi \\ -\dfrac{\pi}{2}, & x=(2k+1)\pi \end{cases},\quad k\in\mathbb{Z}$$
公式：$$S(x)=\begin{cases} x, & -\pi+2k\pi < x < 2k\pi \\ 0, & 2k\pi < x < \pi+2k\pi \\ -\dfrac{\pi}{2}, & x=(2k+1)\pi \end{cases},\quad k\in\mathbb{Z}$$
提示：答案中 $k$ 为任意整数，覆盖所有实数。
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