电子科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\int_{\cos x}^{1} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t}$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析分母在x→0时的行为
当x→0时，cosx→1，因此积分下限趋近于上限，积分区间长度趋于0。被积函数e^{-t^2}在t=1处连续且非零，故分母为无穷小量。分子x^2也是无穷小量，需比较两者阶数。
公式：\int_{\cos x}^{1} e^{-t^2} \, dt \to 0 \quad (x \to 0)
提示：注意积分上下限的顺序：下限大于上限时积分值为负，但此处cosx≤1，积分值为正。
步骤 2/4
目标：应用积分中值定理简化分母
由于e^{-t^2}在[cosx,1]上连续，由积分中值定理，存在ξ介于cosx与1之间，使得：\int_{\cos x}^{1} e^{-t^2} \, dt = (1-\cos x) e^{-\xi^2}。当x→0时，cosx→1，故ξ→1，从而e^{-\xi^2}→e^{-1}。
公式：\int_{\cos x}^{1} e^{-t^2} \, dt = (1-\cos x) e^{-\xi^2}, \quad \xi \in [\cos x, 1]
提示：中值定理中的ξ依赖于x，但极限行为可确定其趋于1。
步骤 3/4
目标：利用等价无穷小替换1-cosx
当x→0时，1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}。因此分母的等价无穷小为：\int_{\cos x}^{1} e^{-t^2} \, dt \sim \frac{x^2}{2} \cdot e^{-1}。
公式：1-\cos x \sim \frac{x^2}{2} \quad (x \to 0)
提示：等价无穷小替换需确保乘除运算中因子非零，此处e^{-1}≠0，可安全替换。
步骤 4/4
目标：计算极限值
将分子和分母的等价无穷小代入原极限：\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2} e^{-1}} = \frac{1}{\frac{1}{2} e^{-1}} = 2e。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\int_{\cos x}^{1} e^{-t^2} \, dt} = 2e
提示：最终结果2e，注意e是自然常数，不是变量。
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