电子科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4．设函数 $g \in C[a, b], f$ 在 $g$ 的值域上有定义．证明：若 $f \circ g \in C[a, b]$ ，则 $f$ 在 $g$ 的值域上连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和要证明的结论
已知：$g \in C[a, b]$，即 $g$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；$f$ 在 $g$ 的值域 $R_g = g([a,b])$ 上有定义；复合函数 $f \circ g$ 在 $[a,b]$ 上连续。要证：$f$ 在 $R_g$ 上连续，即对任意 $y_0 \in R_g$，$f$ 在 $y_0$ 处连续。
提示：注意值域 $R_g$ 是闭区间（或单点集），因为连续函数将闭区间映射为闭区间。
步骤 2/6
目标：假设反证：假设 $f$ 在某点 $y_0 \in R_g$ 不连续
假设存在 $y_0 \in R_g$ 使得 $f$ 在 $y_0$ 处不连续。则存在 $\epsilon_0 > 0$，使得对任意 $n \in \mathbb{N}$，存在 $y_n \in R_g$ 满足 $|y_n - y_0| < \frac{1}{n}$ 且 $|f(y_n) - f(y_0)| \ge \epsilon_0$。
公式：$|y_n - y_0| < \frac{1}{n}, \quad |f(y_n) - f(y_0)| \ge \epsilon_0$
提示：不连续的定义：存在某个正数 $\epsilon_0$，无论 $\delta$ 多小，都能找到值域中的点 $y$ 距离 $y_0$ 小于 $\delta$ 但 $f(y)$ 与 $f(y_0)$ 的差至少为 $\epsilon_0$。
步骤 3/6
目标：利用 $g$ 的值域构造原像序列
由于 $y_n \in R_g$，存在 $x_n \in [a,b]$ 使得 $g(x_n) = y_n$。由 $[a,b]$ 的紧致性（有界闭区间），序列 $\{x_n\}$ 存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，设其极限为 $x^* \in [a,b]$。
公式：$g(x_n) = y_n, \quad x_{n_k} \to x^* \in [a,b]$
提示：紧致性保证子列收敛，这是分析中常用的技巧。
步骤 4/6
目标：利用 $g$ 的连续性得到 $g(x^*) = y_0$
由 $g$ 在 $x^*$ 处连续，有 $g(x_{n_k}) \to g(x^*)$。但 $g(x_{n_k}) = y_{n_k} \to y_0$，由极限唯一性得 $g(x^*) = y_0$。
公式：$\lim_{k \to \infty} g(x_{n_k}) = g(x^*) = y_0$
提示：注意这里 $y_{n_k} \to y_0$ 是因为 $|y_n - y_0| < 1/n$。
步骤 5/6
目标：利用复合函数的连续性导出矛盾
由于 $f \circ g$ 在 $x^*$ 处连续，且 $x_{n_k} \to x^*$，应有 $f(g(x_{n_k})) \to f(g(x^*)) = f(y_0)$。但 $f(g(x_{n_k})) = f(y_{n_k})$，而 $|f(y_{n_k}) - f(y_0)| \ge \epsilon_0$ 对所有 $k$ 成立，这与极限定义矛盾。
公式：$\lim_{k \to \infty} f(g(x_{n_k})) = f(y_0)$ 与 $|f(y_{n_k}) - f(y_0)| \ge \epsilon_0$ 矛盾
提示：复合函数连续意味着 $f(g(x_{n_k}))$ 必须趋近于 $f(g(x^*))$，但反证假设阻止了这种趋近。
步骤 6/6
目标：结论：反证假设不成立，$f$ 在 $R_g$ 上连续
因此假设 $f$ 在某点 $y_0$ 不连续导致矛盾，故 $f$ 在 $R_g$ 上每一点都连续，即 $f$ 在 $g$ 的值域上连续。证毕。
提示：注意 $y_0$ 的任意性，从而得到整体连续性。
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