电子科技大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{\sqrt{1+x^{3}}-1}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简分母
当 $x \to 0$ 时，$\sqrt{1+x^3} - 1 \sim \frac{x^3}{2}$，因为 $\sqrt{1+t} - 1 \sim \frac{t}{2}$ 对 $t \to 0$ 成立。
公式：\sqrt{1+x^3} - 1 \sim \frac{x^3}{2}
提示：注意等价无穷小的使用条件：$t \to 0$，这里 $t = x^3$ 满足条件。
步骤 2/5
目标：处理分子中的指数形式
令 $y = (\cos x)^{\sin x}$，取自然对数得 $\ln y = \sin x \ln(\cos x)$。
公式：\ln\left((\cos x)^{\sin x}\right) = \sin x \ln(\cos x)
提示：指数型函数取对数是常用技巧，便于利用等价无穷小。
步骤 3/5
目标：对 $\ln(\cos x)$ 和 $\sin x$ 使用等价无穷小
当 $x \to 0$ 时，$\cos x \sim 1 - \frac{x^2}{2}$，所以 $\ln(\cos x) \sim \ln\left(1 - \frac{x^2}{2}\right) \sim -\frac{x^2}{2}$；同时 $\sin x \sim x$。因此 $\sin x \ln(\cos x) \sim x \cdot \left(-\frac{x^2}{2}\right) = -\frac{x^3}{2}$。
公式：\sin x \ln(\cos x) \sim -\frac{x^3}{2}
提示：注意 $\ln(1+u) \sim u$ 当 $u \to 0$，这里 $u = -\frac{x^2}{2}$。
步骤 4/5
目标：还原分子表达式
由 $\ln y \sim -\frac{x^3}{2}$ 得 $y = e^{\ln y} \sim e^{-x^3/2}$。当 $x \to 0$ 时，$e^{-x^3/2} \sim 1 - \frac{x^3}{2}$。于是分子 $1 - (\cos x)^{\sin x} \sim 1 - \left(1 - \frac{x^3}{2}\right) = \frac{x^3}{2}$。
公式：1 - (\cos x)^{\sin x} \sim \frac{x^3}{2}
提示：使用 $e^u \sim 1+u$ 时，$u \to 0$，这里 $u = -x^3/2$。
步骤 5/5
目标：代入等价无穷小求极限
原极限化为 $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{\frac{x^3}{2}} = 1$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{\frac{x^3}{2}} = 1
提示：等价无穷小替换后，分子分母同阶，直接约分得结果。
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