📝 电子科技大学 2024年数学分析真题
第0题
1．计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{\sqrt{1+x^{3}}-1}=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
2．设 $u(x, y, z)=x y z$ ，则 $\mathrm{d}^{3} u=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
3．曲线积分 $\oint_{L}\left(2 x^{2}+y^{2}+z\right) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $L$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与 $x+y+z=0$ 的交线．
第0题
4．函数 $z=x y$ 在点 $\_\_\_\_$处的法线与平面 $x+3 y+z+9=0$ 垂直．
第0题
5．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}}=$ $\_\_\_\_$。
第0题
6．将 $f(x)=\pi-x, x \in(0, \pi)$ 展开成正弦级数 $\_\_\_\_$ ，并写出和函数 $\_\_\_\_$ ．
第0题
7．方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x y+y+y^{2} z=0 ; \\
x^{y}+y z-z^{2}+5=0 .
\end{array} \quad(\text { 可能有误 })\right.
$$
在点 $P(1,-2,1)$ 附近能否唯一确定隐函数组？
$$
\left\{\begin{array}{l}
x y+y+y^{2} z=0 ; \\
x^{y}+y z-z^{2}+5=0 .
\end{array} \quad(\text { 可能有误 })\right.
$$
在点 $P(1,-2,1)$ 附近能否唯一确定隐函数组？
第0题
8．计算曲线积分
$$
\int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}
$$
其中 $L: x^{2}+y^{2}=1$ ，取逆时针方向．
$$
\int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}
$$
其中 $L: x^{2}+y^{2}=1$ ，取逆时针方向．
第0题
9．求 $x+2 y=1$ 与 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 相交曲线上到原点距离最小的点．
第0题
10．判断数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\sin ^{2} n}{n}$ 的玫散性，若收敛需要判断是条件收玫还是绝对收敛．
第0题
11．计算积分 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos 2 x y \mathrm{~d} x$ ，其中 $y \in \mathbb{R}$ ．
第0题
12．计算二重积分 $\iint_{D}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D: x^{2}+y^{2}=4$ 与 $(x+1)^{2}+y^{2}=1$ 所围成的区域．
第0题
13．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n}=\sin 1+\frac{\sin 2}{2!}+\frac{\sin 3}{3!}+\cdots+\frac{\sin n}{n!}$ ．
（1）证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 有界，但是 $\left\{a_{n}\right\}$ 不单调．
（2）证明：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（1）证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 有界，但是 $\left\{a_{n}\right\}$ 不单调．
（2）证明：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
第0题
14．证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致收敛．
第0题
15．证明：反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{5} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ 收敛．
第0题
16．已知 $\lambda>0, \beta \in(0,1),\left\{a_{n}\right\}$ 为正数列，且满足
$$
\liminf _{n \rightarrow \infty} n^{\beta}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda
$$
证明：对任意的 $k>0$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{k} a_{n}=0$ ．
$$
\liminf _{n \rightarrow \infty} n^{\beta}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda
$$
证明：对任意的 $k>0$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{k} a_{n}=0$ ．
第0题
17．已知函数 $f(x) \in C^{2}[0,1]$ ，且满足 $f(0) f(1) \geq 0$ ．证明：
$$
\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq 2 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x
$$
$$
\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq 2 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x
$$