电子科技大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
13．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n}=\sin 1+\frac{\sin 2}{2!}+\frac{\sin 3}{3!}+\cdots+\frac{\sin n}{n!}$ ．
（1）证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 有界，但是 $\left\{a_{n}\right\}$ 不单调．
（2）证明：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明数列有界
对任意正整数 $k$，有 $|\sin k| \le 1$，因此
\[
|a_n| \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} < \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} = e - 1.
\]
所以 $\{a_n\}$ 有界。
公式：$|a_n| < e-1$
提示：注意 $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}=e-1$，不要误写为 $e$。
步骤 2/4
目标：证明数列不单调
考虑相邻项差：
\[
a_{n+1} - a_n = \frac{\sin(n+1)}{(n+1)!}.
\]
其符号由 $\sin(n+1)$ 决定。取 $n=2$，$\sin 3 > 0$，故 $a_3 > a_2$；取 $n=3$，$\sin 4 < 0$，故 $a_4 < a_3$。因此数列不单调。
公式：$a_{n+1} - a_n = \frac{\sin(n+1)}{(n+1)!}$
提示：只需找到两个相邻项差符号相反的例子即可，无需对所有 $n$ 验证。
步骤 3/4
目标：证明数列收敛（使用Cauchy收敛准则）
对任意 $n, p \in \mathbb{N}^+$，有
\[
|a_{n+p} - a_n| = \left| \frac{\sin(n+1)}{(n+1)!} + \cdots + \frac{\sin(n+p)}{(n+p)!} \right| \le \sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{1}{k!}.
\]
由于级数 $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}$ 收敛，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得 $\sum_{k=N+1}^\infty \frac{1}{k!} < \varepsilon$。于是当 $n \ge N$ 时，对任意 $p>0$，有 $|a_{n+p} - a_n| < \varepsilon$。由Cauchy收敛准则，$\{a_n\}$ 收敛。
公式：$|a_{n+p} - a_n| \le \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!}$
提示：Cauchy准则要求对任意 $\varepsilon>0$ 存在 $N$，使得 $m,n>N$ 时 $|a_m-a_n|<\varepsilon$，这里取 $m=n+p$。
步骤 4/4
目标：总结结论
（1）数列 $\{a_n\}$ 有界（因为 $|a_n|
提示：有界且单调是收敛的充分条件，但这里不单调，故需用Cauchy准则。
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