电子科技大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．曲线积分 $\oint_{L}\left(2 x^{2}+y^{2}+z\right) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $L$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与 $x+y+z=0$ 的交线．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定积分曲线的几何特征
曲线 $L$ 由球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 相交得到。由于平面过原点（原点到平面的距离 $d=\frac{|0|}{\sqrt{3}}=0$），所以交线是一个半径为 $1$ 的大圆，其周长为 $2\pi$。
公式：圆周长 $C = 2\pi R = 2\pi$
提示：注意平面过球心时交线才是大圆，否则半径会小于球半径。
步骤 2/5
目标：利用对称性分析被积函数各项的积分
曲线 $L$ 在平面 $x+y+z=0$ 上，且球面方程具有轮换对称性，因此沿 $L$ 的积分中，坐标平方项和一次项分别具有对称性：
$$\oint_L x^2\,ds = \oint_L y^2\,ds = \oint_L z^2\,ds$$
$$\oint_L x\,ds = \oint_L y\,ds = \oint_L z\,ds$$
又因为 $x+y+z=0$ 在曲线上恒成立，积分得 $\oint_L (x+y+z)\,ds = 0$，所以每个一次项积分均为 $0$。
公式：$$\oint_L x\,ds = \oint_L y\,ds = \oint_L z\,ds = 0$$
提示：轮换对称性成立的条件是曲线方程在变量置换下不变，这里球面和平面方程均满足。
步骤 3/5
目标：计算平方项的积分值
由球面方程 $x^2+y^2+z^2=1$，在曲线 $L$ 上每点成立，所以
$$\oint_L (x^2+y^2+z^2)\,ds = \oint_L 1\,ds = 2\pi$$
利用对称性，三个平方项积分相等，故
$$\oint_L x^2\,ds = \frac{1}{3} \cdot 2\pi = \frac{2\pi}{3}$$
同理 $\oint_L y^2\,ds = \frac{2\pi}{3}$。
公式：$$\oint_L x^2\,ds = \frac{2\pi}{3}$$
提示：不要忘记曲线长度为 $2\pi$，这是计算的基础。
步骤 4/5
目标：代入原积分并求和
原积分为
$$\oint_L (2x^2 + y^2 + z)\,ds = 2\oint_L x^2\,ds + \oint_L y^2\,ds + \oint_L z\,ds$$
代入已得结果：
$$2\cdot\frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + 0 = \frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$$
公式：$$\oint_L (2x^2+y^2+z)\,ds = 2\pi$$
提示：注意一次项 $z$ 的积分为 $0$，不要遗漏。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
经过上述计算，曲线积分的值为 $2\pi$。
公式：$$\boxed{2\pi}$$
提示：最终结果与圆的周长一致，这是对称性带来的巧合。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。