电子科技大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
9．求 $x+2 y=1$ 与 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 相交曲线上到原点距离最小的点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立数学模型，明确目标函数和约束条件
设曲线上的点为 $(x, y, z)$，到原点的距离平方为 $d^2 = x^2 + y^2 + z^2$。约束条件为：
(1) $x + 2y = 1$；
(2) $x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$。
问题转化为在约束条件下求 $d^2$ 的最小值。
公式：d^2 = x^2 + y^2 + z^2
提示：注意是求距离的最小值，但用距离平方可以简化求导计算。
步骤 2/7
目标：引入拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数
引入两个拉格朗日乘子 $\lambda$ 和 $\mu$，构造函数：
$$F(x,y,z,\lambda,\mu) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (x + 2y - 1) + \mu (x^2 + 2y^2 + z^2 - 1)$$
公式：F = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (x + 2y - 1) + \mu (x^2 + 2y^2 + z^2 - 1)
提示：拉格朗日乘数法适用于等式约束的最优化问题，每个约束对应一个乘子。
步骤 3/7
目标：对各个变量求偏导并令其为零，得到方程组
分别对 $x, y, z, \lambda, \mu$ 求偏导：
对 $x$：$2x + \lambda + 2\mu x = 0$，即 $2x(1+\mu) + \lambda = 0$；
对 $y$：$2y + 2\lambda + 4\mu y = 0$，即 $2y(1+2\mu) + 2\lambda = 0$；
对 $z$：$2z + 2\mu z = 0$，即 $2z(1+\mu) = 0$；
对 $\lambda$：$x + 2y = 1$；
对 $\mu$：$x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$。
公式：\begin{cases} 2x(1+\mu) + \lambda = 0 \\ 2y(1+2\mu) + 2\lambda = 0 \\ 2z(1+\mu) = 0 \\ x + 2y = 1 \\ x^2 + 2y^2 + z^2 = 1 \end{cases}
提示：注意对 $y$ 求导时，$\lambda$ 项系数为 $2$，因为 $\lambda(2y)$ 的导数是 $2\lambda$。
步骤 4/7
目标：由 $z$ 的方程分情况讨论
由 $2z(1+\mu)=0$ 得两种可能：
情况一：$1+\mu = 0$，即 $\mu = -1$；
情况二：$z = 0$。
公式：2z(1+\mu) = 0 \Rightarrow \mu = -1 \text{ 或 } z = 0
提示：分情况讨论是处理乘积为零的常用方法，不要遗漏任何一种可能。
步骤 5/7
目标：情况一：$\mu = -1$ 时求解
代入 $\mu = -1$：
由 $x$ 方程：$2x(0) + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$；
由 $y$ 方程：$2y(1-2) + 0 = 0 \Rightarrow -2y = 0 \Rightarrow y = 0$；
由约束 $x + 2y = 1$ 得 $x = 1$；
代入 $x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$ 得 $1 + 0 + z^2 = 1 \Rightarrow z = 0$。
得到候选点 $(1,0,0)$，距离平方为 $1$。
公式：\lambda = 0,\; y = 0,\; x = 1,\; z = 0 \Rightarrow d^2 = 1
提示：注意检查是否满足所有方程，避免计算错误。
步骤 6/7
目标：情况二：$z = 0$ 时求解
由 $z=0$，约束 $x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$ 变为 $x^2 + 2y^2 = 1$。
由 $x + 2y = 1$ 得 $x = 1 - 2y$，代入：
$(1-2y)^2 + 2y^2 = 1$，展开得 $1 - 4y + 4y^2 + 2y^2 = 1$，即 $1 - 4y + 6y^2 = 1$，
化简得 $-4y + 6y^2 = 0$，即 $2y(3y - 2) = 0$，解得 $y = 0$ 或 $y = \frac{2}{3}$。
$y=0$ 时 $x=1$，得点 $(1,0,0)$（与情况一重复）；
$y=\frac{2}{3}$ 时 $x = 1 - 2\cdot\frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$，得点 $\left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$，距离平方为 $\frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$。
公式：y = \frac{2}{3},\; x = -\frac{1}{3},\; z = 0 \Rightarrow d^2 = \frac{5}{9}
提示：注意 $y=0$ 的解与情况一重复，只需比较距离大小即可。
步骤 7/7
目标：比较距离并得出最终答案
比较两个候选点的距离平方：$(1,0,0)$ 的 $d^2=1$，$\left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$ 的 $d^2=\frac{5}{9}$。由于 $\frac{5}{9} < 1$，最小距离平方为 $\frac{5}{9}$，最小距离为 $\sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$。
因此，到原点距离最小的点为 $\left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}, 0\right)$。
公式：d_{\min} = \frac{\sqrt{5}}{3},\; \text{点坐标为 } \left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)
提示：最终答案要同时给出坐标和距离，注意距离是正值。
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