电子科技大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
4．函数 $z=x y$ 在点 $\_\_\_\_$处的法线与平面 $x+3 y+z+9=0$ 垂直．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解法线与平面垂直的条件
已知平面方程为 $x + 3y + z + 9 = 0$，其法向量为 $\mathbf{n}_1 = (1, 3, 1)$。若曲面上某点的法线与该平面垂直，则法线方向应与平面法向量平行，即曲面的法向量与 $(1,3,1)$ 平行。
公式：$\mathbf{n}_1 = (1, 3, 1)$
提示：注意：法线与平面垂直等价于法线方向与平面法向量平行，不要混淆为法线与平面法线垂直。
步骤 2/5
目标：求曲面 $z = xy$ 的法向量
将曲面写成隐函数形式 $F(x,y,z) = xy - z = 0$，则梯度向量 $\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right) = (y, x, -1)$ 即为曲面的法向量。
公式：$\nabla F = (y, x, -1)$
提示：计算偏导数时注意符号：$\frac{\partial}{\partial z}(xy - z) = -1$。
步骤 3/5
目标：建立平行条件
设存在非零常数 $k$ 使得 $(y, x, -1) = k(1, 3, 1)$。由第三个分量得 $-1 = k \cdot 1$，解得 $k = -1$。代入前两个分量得 $y = -1 \cdot 1 = -1$，$x = -1 \cdot 3 = -3$。
公式：$(y, x, -1) = k(1, 3, 1)$，$k = -1$
提示：注意解 $k$ 时不要遗漏符号，且 $k$ 必须为常数，不能为零。
步骤 4/5
目标：求对应的 $z$ 坐标
点 $(x,y,z)$ 在曲面 $z = xy$ 上，代入 $x = -3$，$y = -1$ 得 $z = (-3) \cdot (-1) = 3$。
公式：$z = xy$
提示：计算乘积时注意负负得正。
步骤 5/5
目标：验证结果
在点 $(-3, -1, 3)$ 处，法向量为 $(y, x, -1) = (-1, -3, -1)$，与平面法向量 $(1,3,1)$ 方向相反，即平行，因此法线与平面垂直，符合题意。
公式：法向量 $(-1,-3,-1) = -1 \cdot (1,3,1)$
提示：验证时检查法向量是否与平面法向量成比例，比例系数可为负。
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